38. Математическое ожидание случайной функции.

Рассмотрим случайную функцию X(t) при фиксированном значении аргумента, например, t=t₁, получим сечение: X₁=X(t₁) c M[X₁].

Таким образом, каждому фиксированному значению аргумента t соответствует определенное сечение — случайная величина; каждой случайной величине соответствует определенное мат. ожидание, следовательно, каждому фиксированному значению аргумента t соответствует определенное мат. ожидание. Это означает, что мат. ожидание случайной функции есть неслучайная функция от аргумента t, которую обозначают m_x(t).

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называют неслучайную функцию m_x(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t, равному мат. ожиданию сечения, соответствующего этому же значению аргумента.

m_x(t)=M[X(t)].

С точки зрения геометрии мат. ожидание случайной функции можно истолковать как среднюю кривую, около которой расположены другие кривые ее реализации.

При фиксированном значении t мат. ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).

Свойства математического ожидания

1. Мат. ожидание неслучайной функции (t) равно самой этой функции

M[(t)]=(t)

2. Неслучайный множитель (t) можно выносить за знак мат. ожидания

M[(t)*X(t)]=(t)*M[X(t)]

3. Мат. ожидание суммы двух случайных функций X(t) и Y(t) равно сумме мат. ожиданий этих функций

M[X(t)+Y(t)]=m_x(t)+m_y(t)

4. Мат. ожидание суммы случайной функции X(t) и неслучайной функции (t) равно сумме мат. ожидания X(t) и неслучайной функции (t)

M[X(t)+(t)]=m_x(t)+(t)

39. Дисперсия случайной функции, ее среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим случайную функцию X(t). Каждому фиксированному значению аргумента t=t₁ соответствует определенное сечение X₁=X(t), которому соответствует определенное и неотрицательное значение дисперсии D[X(t₁)].

Таким образом, каждому значению аргумента соответствует определенное значение дисперсии, следовательно, дисперсия случайной функции есть неслучайная функция аргумента t.

Ее обозначают D_x(t)=D[X(t)].

Дисперсией случайной функцией X(t) называют неслучайную функцию аргумента t, значение которой при любом фиксированном значении t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же значению аргумента t.

С точки зрения геометрии дисперсия характеризует степень рассеяния возможных реализаций (кривых) вокруг ее мат. ожидания (средней кривой).

Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квадратическое отклонение случайной функции (она также является характеристикой рассеяния).

Средним квадратическим отклонением случайной функции называют квадратный корень из дисперсии. _x(t)=

Свойства дисперсии

1. Дисперсия неслучайной функции (t) равна 0. D[(t)]=0

2. Дисперсия от произведения неслучайной функции на случайную функцию равна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию случайной

D[(t)*X(t)]=²(t)*D_x(t)

3. Дисперсия суммы случайной функции X(t) и неслучайной функции (t) равна дисперсии случайной функции D[X(t)+(t)]=D_x(t)