32. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Пусть двумерная случайная величина (Х,У) распределена нормально, из нее извлечена выборка объема n, по которой определен выборочный коэффициент корреляции. Нам нужно проверить гипотезу о том, что генеральный коэффициент корреляции отличен от 0 (r_Г 0). Обычно по данным выборки получают выборочный коэффициент корреляции, отличный от 0 (r_В 0). Возникает вопрос значимо или незначимо он отличается от 0.

Рассмотрим гипотезу Н₀: r_Г 0.

Если Н₀ принимается, то r_В незначимо отличается от 0. Следовательно, случайные величины Х и У некоррелированы, т.е не связаны линейной зависимостью. Если Н₀ отвергается, то r_В значимо отличается от 0, т.е. случайные величины Х и У коррелированны.

В качестве проверки Н₀ выбирают случайную величину: . Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с k = n-2 степенями свободы. Если при заданном уровне значимости  нужно проверит Н₀: r_Г 0, при Н1: r_Г = 0 , тогда и по заданному уровню значимости , расположенному в верхней строке таблицы приложения и числу степеней свободы k = n-2 определяют критическую точку двусторонней критической области и сравнивают:

Если |T_набл|<t_кр.дв., то Н₀ – принимают.

Если |T_набл|>t_кр.дв., то Н₀ – отвергают.

33. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

Пусть даны две нормально распределенные генеральные совокупности Х и У, и из них извлечены выборки с объемами n и m соответственно, дисперсии которых известны(D(X),D(Y)). Тогда нужно проверить Н­₀: М(Х)=М(Y).

Чаще всего на практике выборочное средние различаются ( и ) и нужно вычислить значимо или незначимо это различие. Если Н₀ принимается, генеральные средние совпадают, т.е. выборочные средние различаются незначимо, что может быть объяснено случайными причинами, например, случайным отбором элементов выборки.

Если Н₀ отвергается, то выборочные средние различаются значимо, что не может быть объяснено случайными причинами, и говорит о том, что различны генеральные средние.

В качестве проверки Н₀ выбирают случайную величину Z.

, где Z – нормированная случайная величина (распределенная симметрично относительно 0). Критическую область находят в зависимости от вида Н₁:

случай 1:

Н₀: М(Х)=М(Y) при H₁: M(X) M(Y)

При заданном уровне значимости , при справедливости Н₀ требуется выполнить равенства: P(Z попадает в двустороннюю критическую область)=. Так как область двусторонняя, то P(Z<Z_лев.кр)=P(Z>Z_пр.кр)=/2. Так как Z – нормированная случайная величина, то если обозначить Z_пр.кр=Z_кр, и Z_лев.кр= - Z_кр, то |Z|>Z_кр.

Правило 1:

Если при заданном уровне значимости  нужно проверить:

Н₀: М(Х)=М(Y) при H₁: M(X) M(Y), то вычисляют значение Z_набл: , далее находим критические точки двусторонней критической области, исходя из равенства: Ф(Zкр)=(1-)/2, где Ф(Z) – функция Лапласа, значение которой определяется по таблице.

Если |Z_набл|>Z_кр, то Н₀ – принимают.

Если |Z_набл|<Z_кр, то Н₀ – отвергают.

Случай 2:

Пусть требуется проверить Н₀: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н­­₁:M(X)>M(Y). Следовательно, вероятность попадания критической точки в правостороннюю критическую область при условии справедливости нулевой гипотезы при заданном уровне значимости . P(Z<Z_кр)=. Критическая точка правосторонней критической области определяется по таблице приложения. Ф(Z_кр)=(1-2)/2. Следовательно, Z>Z_кр

Правило 2:

Если при заданном уровне значимости  нужно проверить:

Н₀: М(Х)=М(Y) при H₁: M(X)>M(Y), то вычисляют значение Z_набл: , далее определяют критическую точку правосторонней критической области: Ф(Z_кр)=(1-2)/2.

Если Z_набл<Zкр, то Н₀ – принимают.

Если Z_набл>Zкр, то Н₀ – отвергают.

Случай 3:

Пусть требуется проверить Н₀: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н­­₁:M(X)<M(Y).

Определяют критическую точку левосторонней критической области, исходя из требования, что при справедливости P(Z<Z’_кр)=. Z_кр определяют так же как в правиле 2 в силу нормированности случайной величины Z: Z’_кр= - Z_кр. Следовательно, левосторонняя критическая область примет вид: Z<-Z_кр.

Правило 3:

Если при заданном уровне значимости  требуется проверить: Пусть требуется проверить Н₀: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н­­₁:M(X)<M(Y), то вычисляют Z_набл: и определяют Ф(Z_кр)=(1-2)/2, взяв значение Z_кр со знаком «-».

Если Z_набл>Zкр, то Н₀ – принимают.

Если Z_набл<Zкр, то Н₀ – отвергают.