31. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.

Случай 1:Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально. Ее среднее значение а хотя и неизвестно, но есть основание предполагать, что оно равно гипотетическому значению а₀(а=а₀). Например, Х – совокупность размера xi партий изделий, изготовляемых станком автоматом, то можно предположить, что генеральное среднее а этих размеров равна проектному размеру а₀. Чтобы проверить это предположение находят и проверяют значимо или незначимо различаются и а. Если различие окажется незначимым, то станок в среднем обеспечивает проектный размер. Если различие оказывается значимым, то станок требует подналадки. Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна. Например, из предшествующего опыта или найдена теоретически или вычислена по выборе большого объема (>30), при этом достигается большая точность. Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдено выборочное среднее , причем генеральная дисперсия ² известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости  проверить: Н₀:а=а₀. В качестве проверки критерия берем случайную величину: , которая распределена нормально. Критическая гипотеза строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Правило 1: Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить: Н₀:а=а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁:а а₀, нужно вычислить наблюдаемое значение критерия: , затем по таблице приложения вычислить U_кр исходя из:

Ф(U_кр)=(1-)/2. Если |U_набл|<U_кр, то нет основания отвергнуть гипотезу Н₀. Если |U_набл|>U_кр, то гипотеза Н₀ отвергается.

Правило 2: При заданном уровне значимости  выдвигаем гипотезу: Н₀:а=а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁:а>а₀. Вычисляем и U_кр и критерий находим исходя из: Ф(U_кр)=(1-2)/2. Сравниваем |U_набл| и U_кр также как в правиле 1.

Правило 3: При заданном уровне значимости  выдвигаем гипотезу: Н₀:а=а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁:а<а₀.Вычисляем и U_кр исходя из правила2.

Если |U_набл|>-U_кр, то гипотеза Н₀ принимается. Если |U_набл|<-U_кр, то гипотеза Н₀ отвергается.

Случай 1:Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

В этом случае в качестве критерия проверки Н₀ рассматривают случайную величину Т: , где S – исправленное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, Т – случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Если при заданном уровне значимости  требуется проверить гипотезу: Н₀:а=а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁:а а_0, то вычисляют . При заданном уровне значимости , расположенном в верхней строке таблицы и степеням свободы k, определяют критическую точку двусторонней критической области. Если |Т_набл|<tкр.дв., то нет оснований отвергать Н₀, если |Т_набл|>tкр.дв., то гипотеза Н₀ отвергается. Если при заданном уровне значимости  нужно проверить: Н₀:а=а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁:а>а₀, тогда . По уровню значимости , расположенному в нижней строке таблицы приложений и количеству степеней свободы k= n–1 находят tправ.кр.=t(,k). Если |Т_набл|<tправ.кр., то нет оснований отвергать Н₀, если |Т_набл|>tправ.кр., то гипотеза Н₀ отвергается. Если при заданном уровне значимости  нужно проверить: Н₀:а=а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁:а<а₀, тогда , а tлев.кр.= - tкр. Если Т_набл> - tкр., то нет оснований отвергать Н₀, если Т_набл< - tкр., то гипотеза Н₀ отвергается.