42.Взаимная корреляционная функция. Нормированная взаимная корреляционная функция
Для того, чтобы оценить степень зависимости сечений двух случайных функций, вводят новую характеристику – взаимную корреляционную функцию.
Рассмотрим случайные функции X(t)
и Y(t) . При
фиксированных значениях аргумента t=t1
и t=t2,
получим сечение X(t1)
и Y(t2).
Можно вычислить M[
(t1),
(t2)].
Взаимной корреляционной функцией случайных функций X(t) и Y(t) называются функции вида:
xy(t1, t2), значения которой при фиксированных значениях аргумента равны корреляционному моменту сечений, полученных при тех же значениях аргумента.
xy(t1, t2)= M[ (t1), (t2)]
Коррелированными называются случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно не равна 0. В противном случае они называются некоррлированными.
Свойства
1. При одновременной перестановке индексов и аргументов сама взаимная коррляционная функция не меняется. xy(t1, t2)=yx(t2, t1)
2. Прибавление к случайным функциям X(t) и Y(t) неслучайных функций (t) и (t) не меняет взаимную корреляционную фунцию, то есть если X1(t)=X(t)+(t), Y1(t)=Y(t)+(t), то тогда
Умножение случайных функций X(t) и Y(t) на неслучайные функции (t) и (t) соответственно, умножать взаимную исходную корреляционную функцию на неслучайные функции (t1) и (t2).
X1(t)=X(t)*(t1); Y1(t)=Y(t)*(t2) следовательно, *(t1)*(t2)
Абсолютная величина взаимной корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсии случайных функций.
<=
Нормированная взаимная корреляционная функция наряду со взаимной корреляционной функцией вводится для оценки степени зависимости случайных величин.
Нормированной взаимной корреляционной
функцией случайных функций X(t)
и Y(t)
называется функция
,
которая для каждой пары фиксированных
значений аргументов t1
и t2 равна
отношению:
=
Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те же свойства, что и взаимная корреляционная функция. Отличие лишь в 4 свойстве:
4.Абсолютная величина нормированной взаимной корреляционной функции не превышает 1.
<=1
43. Характеристики суммы случайных функций.
Пусть X(t) и Y(t) случайные функции. Найдем характеристики их суммы.
Теорема 1. Мат. ожидание суммы случайных функций равно сумме мат. ожиданий этих функций.
M[X(t)+Y(t)]=mx(t) +my(t)
Следствие: Мат. ожидание суммы случайной функции X(t) и случайной величины Y равно:
M[X(t)+Y]=mx(t) +my
Теорема 2. Корреляционная функция двух коррелированных случайных функций X(t) и Y(t) равна сумме коррляционных функций каждой случайной функции с добавлением (дважды) взаимной корреляционной функции с перестановкой аргумента.
Z(t)=X(t)+Y(t), следовательно, Kz(t1,t2)=Kx(t1,t2)+Ky(t1,t2)+xy(t1,t2)+xy(t2,t1)
Следствие 1: Корреляционная функция суммы случайных функций X(t) и Y(t) (некоррелированных) равна сумме корреляционных функций слагаемых. Z(t)=X(t)+Y(t), следовательно, Kz(t1,t2)=Kx(t1,t2)+Ky(t1,t2)
Следствие 2: Корреляционная функция случайной функции X(t) и неслучайной функции (t) равна сумме корреляционной функции случайной функции X(t) и дисперсии неслучайной функции (t).
Если Z(t)=X(t)+(t), тогда Kz(t1,t2)=Kz(t1,t2)+D(t).