§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
Одной
из важнейших задач исследования взаимного
расположения двух поверхностей является
определение линии их пересечения.
Формально, линия пересечения записывается
как система двух уравнений с тремя
переменными (см. §12 и §16):
.
Для анализа линии пересечения исключим
в данной системе одну из переменных,
например z.
В результате получится одно уравнение
с двумя неизвестными: f(x,y)
= 0, которое можно воспринимать как кривую
на плоскости XOY.
Любой точке этой кривой (x*,y*)
, будет соответствовать некоторое
значение z*, при котором точка (x*,y*, z*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная оси OZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскости XOY пересекает кривую f(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющей f(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:
Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнение проекции линии пересечения этих поверхностей на координатную плоскость двух оставшихся переменных.
Пример.
Найти проекцию линии пересечения
поверхностей
и
на
плоскость
YOZ.
{Исключим х:
гипербола. Из уравнения первой поверхности
(круговой цилиндр) следует, что
верхняя ветвь,
}
§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.
Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:
Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.
§22. Эллипсоид.
Эллипсоидом
называется поверхность, которая в
некоторой декартовой системе координат
определяется уравнением
,
коэффициенты А,
В
и
С
− числа одного знака, а L
имеет знак им противоположный.
При этих условиях уравнение эллипсоида может быть написано в каноническом виде:
где
.
Для определения формы эллипсоида применим метод сечений. Пусть z = h фиксировано.
С
ечение
эллипсоида плоскостью z
= h
будет иметь вид
− эллипс с данными полуосями. Отсюда
следуют несколько выводов:
1)
;
при h
= c
эллипс вырождается в точку.
2) Наибольшие полуоси эллипс будет иметь при h = 0.
3) Аналогичная картина будет иметь место в сечениях
x = h или y = h. (рис.11)
рис.11
Как
и в случае эллипса, числа a,
b
и
c
называются полуосями эллипсоида. Если
они все разные, то эллипсоид называется
трехосным. Если две полуоси равны друг
другу, то мы получим эллипсоид вращения
(§19). В случае равенства всех полуосей
– имеем сферу:
.