9.Дослідження рівняння 2-го порядку с двома змінними (еліптичний випадок)

- канонічне рівняння еліпса

Симетрія еліпса: Якщо точка М(x;y) належить еліпсу, то:

1.точка М1(х;-у), яка симетрична з точкою М(x;y) відносно осі Ох, також належить еліпсу, таким чином вісь Ох є віссю симетрії еліпса.

2.точка М2(-х;у) симетрична М(x;y) відносно Оу, також належить еліпсу. Отже, вісь Оу – вісь симетрії еліпса.

3.точка М3(-х;-у) симетрична М(x;y) відносно початку координат О, також належить еліпсу. Точка О – центр симетрії еліпса. Центр симетрії еліпса називають центром центром еліпса. Осі симетрії еліпса називають осями еліпса. Вершини еліпса. Точки перетин еліпса з його осями називають вершинами еліпса.

А1(а;0) і А2(-а;0) – вершини, що лежать на осі Ох.

В1(0;b) і В2(0;-b) – вершини на Оу

2а – велика вісь еліпса

2b – мала вісь еліпса

а – велика піввісь еліпса

b – мала піввісь еліпса

Ексцентриситет еліпса. Ексцентриситетом еліпса називають відношення фокусної відстані до довжини великої осі.

Фокуси. F1(-c;0), F2(c;0)

10. Дослідження рівняння 2-го порядку з двома змінними (гіперболічний випадок)

- канонічне рівняння гіперболи

Симетрія гіперболи:

1.Вісь Ох – вісь симетрії гіперболи

2.Вісь Оу – вісь симетрії гіперболи

3.Точка О – точка симетрії гіперболи

Центр симетрії гіперболи називають центром гіперболи.

Осі симетрії гіперболи називають осями гіперболи.

Вершини гіперболи. Точки перетину гіперболи з її осями називають вершинами гіперболи.

А1(а;0) і А2(-а;0) – дійсні вершини гіперболи.

З віссю Оу гіпербола не перетинається, тому В1(0;b) і В2(0;-b) – уявні вершини гіперболи.

2а – дійсна вісь гіперболи

2b – уявна вісь

а – дійсна напіввісь

b – уявна напіввісь

Асимптоти гіперболи. Т: Асимптоти гіперболи, заданої канонічний рівнянням, є прямі і

Ексцентриситет гіперболи – це відношення фокусної відстані до дійсної осі.

Фокуси. F1(-c;0), F2(c;0)

11. Дослідження рівняння II-го порядку з двома змінними (параболічний випадок).

у² = 2рх – канонічне рівняння параболи. Вісь Ох – вісь симетрії параболи, яка називається віссю параболи. Вершина параболи: точка перетину параболи з її віссю. Парабола має одну вершину О (0;0). Зі збільшенням параметра параболи р збільшується відстань між вітками параболи. Ексцентреситет параболи – це відношення відстані будь-якої точки параболи від фокуса до відстані її від директриси. Е = 1.

12. Означення границі послідовності. Сформулювати властивості збіжних послідовностей (властивості границі). Довести одну із них.

Озн. Число а називається границею послідовності {а_п.}, якщо для кожного, як завгодно малого, додатного числа Е>0, існує такий номер N, який залежить від Е (N= N(Е)), що для всіх членів послідовності з номерами п>N виконується нерівність |а_п-а|<Е. Якщо послідовність має границю, то вона називається збіжною. Властивості границі: Т.1 Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина. Доведення: Припустимо, що послідовність має 2 границі: x_n=a, x_n = b, a<>b. a<b; існує r: a<r<b так як lim x_n=a, то існує N1, що для всіх п>N1; х_п<r та існує N11, що для всіх п>N11, х_п>r. Прийшли до протиріччя х_п<r та х_п>r. Т2. Якщо послідовність має границю, то ця послідовність є обмеженою. Т.3. Якщо послідовність {а_п} має границю, що <>0 (lim а_п.=А<>0), то всі члени послідовності, починаючи з деякого номеру N мають знак границі А. Т.4. Границя сталої послідовності = цій сталій с = с.

14. Теореми про зв’язок між нм і нв послідовностями: Т.1Якщо послідовність є нв і всі члени послідовності відмінні від нуля,то послідовність обернених величин є нм. Т.2Якщо послідовність є нм і всі члени послідовності відмінні від нуля,то послідовність обернених величин є нв.

15. Арифметичні теореми для збіжних послідовностей: Т.1 Якщо послідовності і збіжні, при чому , то мають місце наступні властивості: 1. 2. 3. при Доведення: . За властивістю про зв'язок нм і послідовності,що мають границю,одержимо : ; ,де і -нм.; ; нм.; ; -нм. Для того,щоб послідовність мала границю необхідно і достатньо,щоб послідовність -нм.