20. Линейные блоковые корректирующие коды. Свойства линейных кодов. Правила построения порождающей и проверочной матриц. Структурная схема кодирующего устройства.

Л .б.к.к. называют коды, в которых проверочные символы получают суммированием по модулю 2 двух или более кодовых комбинаций.

С в-ва:1)Ассоциативность

2 )Перестановочность

3 )Наличие нейтральных элементов (e):

4)Наличие обратных элементов:

Пример 1

000 a) 001 - A_e 001 - A_i

n=3 001 000 – e 001 - A_i

010 001 - A_i 000 - e

011

100

порождающая матрица

Количество строк порожд матрицы G=k, число столбцов длине кодового слова.

К одовые комбинации должны быть линейно независимыми: - не нулевые комбинации A₁, A₂, A₃ если , где принадлеж {0,1},

П ример 2

Построить код с d^*=3 для кодирования 8 сообщений

В строке матрицы Ckxr должно быть d^*-1 единица, а

так же кодовое расстояние между строками не менее

чем d^*-2. На основании порожд матрицы составить уровнение проверки на чётность:

для построения проверочной матрицы H.

Проверочн матрица примен при построении кодир устройства

З ная правила формирования проверочн элементов сформируем на приёме проверочные элементы по принятым информационным. Пусть элементы

- это принятые проверочные элементы, а , и т.д. сформир проверочные элементы. И сравниваем с принятым;

Е сли то правая комбинация принята верно

Е сли

что кодовая комбин содержит ошибки

К одовая комбин b₁, b₂, b₃ называется синдромами

21.Обнаружение и исправление ошибок в линейных блоковых кодах. Понятие синдрома. Структурные схемы декодирующих устройств с обнаружением и исправлением ошибок.

Обнаружение ошибок:

1. На основании сравнения принятой кодовой комбинации со всеми разрешенными

2. Зная правило формирования проверочных элементов а приеме проверочные элементы могут быть сформированы по принятым информационным.

Синдром – последовательность символов b1, b2… , образованных в результате суммирвоания по модулю 2 проверочных элементов на входе и выходе (элементы при отсутствии ошибки = 0).

Пусть

011 100 a4+a2+a3=b1

H= 101 010 a5+a1+a3=b2

110 001, то a6+a1+a2=b3

Декодер, обнаруживающий ошибки:

Декодер, исправляющий ошибки:

22. Построение поля Галуа и его свойства.

Полем Галуа называется конечное коммутативное поле. Конечное поле - это конечное множество из q элем-ов, в кот-ом опред-ны правила для выполнения арифметических операций. Поле Галуа из q элементов обозначается GF(q).

Поля Галуа облад-т след-ми свойствами:

• в поле определены две операции: сложение и умножение;

• результатом сложения или умножения двух элементов поля является элемент этого же поля;

• поле всегда содержит мультипликативную единицу 1 и аддитивную единицу 0, т.е. и для любого элемента a, принадлежащего полю;

• для любого элемента a, не равного нулю, существует обратный элемент по сложению (минус a) и по умножению ( ), такой, что и (в случае q=2 обр-ый эл-т совп-ет с самим эл-ом);

• выполняются обычные правила ассоциативности a+(b+c)=(a+b)+c, a*(b*c)=(a*b)*c , коммутативности и дистрибутивности .

Для каждого допустимого значения q существует ровно одно поле.

Если q - простое число, то элементами поля являются числа 0, 1, ..., (q-1), а сложение и умножение являются обычными сложением и умножением по модулю q.

Если q является степенью простого числа, т.е. если , то элементами поля являются все многочлены степени (m-1) или менее, коэффициенты которого лежат в простом поле GF(p).

Правила умножения и сложения таких многочленов получаются из обычного умножения и сложения многочленов и последующего приведения результата по модулю некоторого специального многочлена p(x) степени m. Этот многочлен обладает тем свойством, что его нельзя разложить на множители, используя только многочлены с коэффициентами из поля GF(p). Такие многочлены называются неприводимыми, они аналогичны простым числам. Как и простые числа, они могут находиться методом перебора. Для двоичных кодов такие многочлены должны быть неприводимыми над полем GF(p). Наиболее подробная таблица неприводимых над полем GF(p) многочленов представлена в [2].

Все конечные поля обладают тем свойством, что существует, по крайней мере, один элемент, называемый

примитивным элементом, обладающий тем свойством, что любой другой элемент поля является некоторой степенью этого элемента.

Неприводимый над полем GF(2) многочлен p(x) степени m может быть использован для построения поля . При этом коэффициенты неприводимого многочлена являются элементами поля GF(2).

Пусть неприводимый многочлен p(x) имеет вид

Пусть a - примитивный элемент поля . Если неприводимый многочлен p(x) примитивный, то a=x.

Запись поля Галуа осуществляется в виде набора из многочленов степени, не превышающей (m-1). Первый элемент записи всегда равен нулю (нулевой элемент поля) и обычно в записи не приводится. Остальные многочленов представляют собой степени от 0 до примитивного элемента поля. Здесь и далее принимается, что старшие степени многочленов записываются слева, младшие справа.

Построение поля проводится в следующем порядке:

• запис-ся степени примит-ого эл-та от 0 до (m-1); запись производится в виде

• записывается элемент , который определяется по правилу

;

• записываются многочлены, соответствующие остальным степеням a, от до . Указанные степени определяются посредством: а) умножения предыдущего многочлена, т.е. многочлена, соответствующего , на x; б) замены на многочлен ; в) приведения подобных членов.

Таким образом, поле Галуа GF(2^m) запишется в виде

Умножение элементов поля Галуа сводится к сложению степеней умножаемых элементов и приведению результата в диапазон … . Операция сложения элементов поля Галуа выполняется над двоичными числами по модулю 2. Степень a определяется по соответствию результата сложения в поле вида (1.20).