61. Электроёмкость уединённго прово-ка. Электроёмкость проводящего шара.

Зарядим уединенный проводник, сообщив ему некото­рый заряд q. Этот заряд распределится по поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника равня­лась нулю. Для нахождения электрического поля,

создаваемого заряженным про­водником в произвольной точ­ке М вне его (см. рис), применим принцип наложения. Тогда получим

т. е. вектор напряженности электрического поля в точке М равен геометрической сумме полей, создаваемых в этой точке каждым из элементарных точечных зарядов qi, на которые можно разбить весь заряд проводника. Аналогичным образом вычисляется и электрический по­тенциал в точке М:

т. е, как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых каждым из элементарных точечных зарядов. Поместим теперь на тот же проводник заряд q', в п раз больший первоначального, q'=nq, Чтобы поле внутри про­водника вновь равнялось нулю, заряд q' должен распре­делиться по поверхности проводника подобно заряду q, т. е. все q'i будут также в n раз больше соответствующих вели­чин qi. Вычисляя потенциал в точке М, получим

т. е. потенциал в каждой точке поля возрастает прямо пропорционально заряду проводника. Это утверждение, конечно, справедливо и для всех точек внутри и на поверх­ности проводника, потенциал которых одинаков. Обозначая потенциал самого проводника через φ, получим q~ φ(12.4) Вводя соответствующий коэффициент пропорциональ­ности, перепишем (12.4) в виде q=Сφ или С=q/φ.(12.5)

Коэффициент С называется электрической ем­костью проводника. Изменим заряд проводника на ∆q Тогда его потенциал возрастает на ∆φ, так что q+∆q=С (φ +∆φ).(12.6) Из (12.5) и (12.6) получаем, что ∆q=С∆φ,(12.7) и, следовательно, при ∆φ =1 С=∆q.(12.8) Тают образом, электроемкость проводника численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу.

Подсчитаем электроемкость уединенного сферического проводника, Из соображений симметрии очевидно, что сооб­щенный ему заряд распределится равномерно по поверх­ности проводника. Используя полученное для этого случая выше решение, можно написать выражение для потенциала шара:

где R — радиус шара, q — его заряд и ε — диэлектричес­кая проницаемость окружающей проводник среды. Под­ставляя выражение (12.9) в общую формулу для электро­емкости (12.5), получаем

Электроемкость шара прямо пропорциональна его ра­диусу и диэлектрической проницаемости окружающей среды.

Земной шар является уединенным сферическим проводником R=6000км.

62. Коденсатор. Емкость плоского конд-ра.

Конденсаторы. Конденсатором называют систему двух изолиро­ванных друг от друга проводников (обкладки конденсатора), полный заряд которых равен нулю. Если один проводник содержит положи­тельный заряд (+q), а другой — отрицательный заряд (—q), то между ними образуется разность потенциалов U=φ1-ф2. Заряд q называют зарядом конденсатора, модуль разности потенциалов U - напряже­нием на конденсаторе. Можно доказать, что U пропорционально q:

U=(1/C)q

где С - электрическая емкость (или просто емкость). Она изме­ряется в фарадах (Ф = Кл/В). Емкость конденсатора не зависит от q и U.

Рассмотрим пример плоского конденсатора, образуемого двумя пластинами площадью S, расстояние между которыми d много меньше их размеров. Поле между ними можно почти всюду считать одно­родным (Е=U/d= const), т.е. пластины заряжены равномерно с поверхностной плотностью ό = q/S.

В этом случае напряженность электрического поля между пластинами равна E=k0(4πό/ε0ε) = k0(4πό/ε0ε S).

С другой стороны пользуясь соотношением между напряженностью поля и градиентом потенциала для нашего случая однородного поля имеем E=-dφ/dn=-((φ1-φ2)/d)=U/d. Сравнивая оба эти выражения для напряженности поля получим U/d= k0(4πq/ε0ε S) и из этого слудует Cпл.к. =q/U = (ε0ε S)/(k0 4πd). Из этого видно что электроемкость зависит от его геометрич размеров и от взаимного расположения проводников.