44.Второй замечательный предел

Теорема:

Предел переменной величины (1+1/n)ⁿ при неограниченном возрастании n, сущ. и равен иррациональному числу.

е= 2,71…

(1)

Показательную ф-цию e^x наз. экспонент и обознач. exp(x)

log_e наз. натуральным log и обозн. ln x= log_ex

Установим связь между натур. и десят. log. Для этого воспользуемся равенством:

y= lg x =log₁₀x – это значит, что x=10^у. Прологарифмируем обе части по основании е.

ln x = ln 10^y= y ln* 10

ln x = ln 10* lg x

lg x = 1/ln 10 * ln x

Число наз. модулем перехода от натур. log ^{ln 10} к десятичным:

lg x = M ln x

ln = 1/M lg x

Можно показ., что предел (1) справедлив не только для послед-тей, но и для ф-ций, а именно:

Сделаем замену переменной

x=1/y, тогда предел х=1/у при х→∞, х→0 и последний предел может быть записан в виде:

45.Непрерывность ф-циив точке

Пусть ф-ция y=f(x) определена в некот. окрестности в точке х₀, вкл. саму точку х₀.

Пусть f(x₀)=у₀, дадим переменной х приращение Δх, тогда переменная х получит:

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной при x=x₀ (или в точке x₀ ), если она определена в некот. окрестности точки x₀, вкл. саму точку x₀ и если сущ. предел:

Ф-ция непрерывна, если малым приращениям аргумента Δх соответ. малое преращение ф-ции Δу.

Послед. равенство можно переписать в сл. виде:

и обознач. х= х₀≠ Δх, тогда при Δх→0, при х→х₀, тогда имеем:

Т.е., чтобы перейти к пределу непрерыв. ф-ции f(x) при х→х₀, достаточно аргумент этой ф-ции заместить на х₀. Учитывая очевидное равенство , можем заметить:

Последнее равенство означает, что можно переходить к пределу под знаком непрерывной ф-ции.

Если для некот. ф-ции не выполняется хотя бы 1 из требований непрерывности в некот. точке х₀, то ф-ция наз. разрывной в этой точке, а х₀ наз. точкой ее разрыва.

Пример:

1.

х=0 явл. точкой разрыва ф-ции.

=-∞, =∞,

2.

Разрывность ф-ции графически означ. разрыв ее графика.

48. Некоторые свойсва непрерывной ф-ции

Теорема:

Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдется точка х=х₁ такая, что f(x)≤f(x₁) и точка х=х₂ такая, что f(x)≥f(x₂). Для всех др. значений х, принадлежащих отрезку [a;b].

Значения f(x₁) и f(x₂) наз. соответственно наибольшими и наименьшими знач-ями ф-ции f(x) на отрезке [a;b].

1 . [-1,1] 2.

3. y=x (0,1)

y=x

1

Теорема:

П усть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков, тогда сущ. некот. точка С на этом отрезке, в кот. ф-ция обращается в 0 (С=0)

Геометрич. утверждение теоремы сводится к тому, что график такой ф-ции обязательно пересечет ось Ох хотя бы в одной точке.