10. Теоремы о разложениях определителя

теорема1(о разложении опред-ля по эл-там ряда):опред-ль = сумме произведений эл-тов любого его ряда на их алгебраич дополнения,для строк эта теорема выглядит так:

А= . detА= А_i1+а_i2А_i2+…+..a_inAin

для столбцов

detА=a_1jA_1j+ a_2jA_2j+…+ a_njA_nj.

теорема2(замещения):сумма произведений чисел α₁, α_2... α_n на алгебраическое дополнение эл-тов некоторого ряда опред-ля =опред-лю, полученного из данного заменой в нём эл-тов выбранного ряда на числа α₁, α_2... α_n.

теорема3(аннулирования): сумма произведений эл-тов некоторого ряда опред-ля на алгебраическ дополнения эл-та другого,параллельного ему ряда,=0.

Справедливость этой теоремы вытекает из того,что такая сумма произведений, согласно теореме замещения будет = определителю, имеющему 2 одинаковых параллельных ряда, который согласно одному из св-в определителя равен 0.

11. Обратная матрица

Матр. А^-1 наз. Обратной по отношению к матр. А,если выполняется равенство:

А^-1*А=А*А^-1=Е. Очевидно,что произведение в этом равенстве будут существовать, только если матр. А, А^-1 – квадратные, одинакового порядка. Поэтому понятие обрат.матр. применимо только к квадр. матрицам.

Если опр-ль квадр. матрицы = 0, то эта матрица наз-ся вырожденной или особенной, если её опр-ль не = 0, то невырожденной или неособенной.

Т.1 Любая не вырожд.матр. (1)

Имеет единств.обрат.матр., котор. Может быть найдена по формуле:

(2)

Док-во По правилу умножения матр. Имеем

Здесь мы использовали т-му о разложении определителя по эл-м ряда и аннулирования. Аналогично можем доказать, что А^-1*А=Е. Можно показать, что матрица (2) является единственной обратной матрицой для матрицы А.

1. Матрицы. Основные определения.

Матрица – прямоугольная таблица вида , состоящая из чисел.

Числа а_ij называются матричными элементами матрицы, или матричными элементами.

Если элементы матрицы вещественные (действительные) числа, матрица называется вещественной.

Если число строк матрицы = числу её столбцов (m=n), матрица называется квадратной.

Число строк или столбцов матрицы называется её порядком.

Элементы а₁₁, а₂₂, а_mn квадратной матрицы образуют главную диагональ.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

Единичной называется диагональная

матрица, все диагональные элементы которой = 1.

2. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Произведением матрицы A_m∙n на число C называется матрица B_m∙n, состоящая из элементов b_ij=αa_ij (i=1, …, m, j=1, …, n).

(–1)∙А – матрица, противоположная матрице А. Записывают –А.

Сумма матриц A_m∙n = (a_ij) и B_m∙n = (b_ij) называется С_m∙n = (с_ij), элементы которой с_ij= a_ij + b_ij (i=1, …, m, j=1, …, n). С=А+В

Разность матриц определяется след. образом: А-В=А+(-В).

Свойства линейных операций над матрицами:

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. А+0(нулевая матрица)=А

4. А+(-А)=0

5. α(β∙А)=(α∙β)

6. (α+)А=αА + βА

7. α(А+В)= αА+ αВ