7. Частные случаи определителей.
1) А1=[a11]
detA1=(-1)k(1)=10 * a11=a11
K(1) = 0
2)
detA2
=
Теорема1:определитель произведения двух квадратных м-ц одинаковог порядка=произведению их определителей.
Det(А1А2)= detA1 detA2.
Теорема 2:если аα1β1а α2β2… аαnβnесть произведение эл-ов м-цы взятых по 1му и только по 1ому
из каждой строки и каждого столбца,то det м-цы может быть найден по формуле:
detA=сумма(-1) к(α1, α2... αn) к(β1, β2...βn)* аα1β1а α2β2… аαnβn.
Здесь суммирование ведётся по всевозможным произведениям эл-тов взятых по 1му и только по 1му из каждой строки и каждого столбца м-цы А. эту теорему можно рассматривать как другое определение определителя равносильное тому, которое было введено ранее.
8. Свойства определителя.
1)при транспонировании м-цы её опред-тель не изменяется. detАТ= detA.это св-во следует из 2го определения опред-теля. Рядом опред-теля будем называть его строку
или столбец.2)если все эл-ты некоторого ряда опред-теля =0,то этот определитель=03)если все эл-ты некоторого ряда определителя имеют общий множитель,то этот множитель можно вынести за знак опред-теля..4)опред-ль каждый эл-нт некоторого ряда,которого =сумме двух слагаемых = сумме двух опред-лей.
5)если м-ца В,полученная из м-цы А переменой мест 2 её параллельных рядов,то detВ=-detА.при перемене 2 строк или столбцов её опред-ль меняется на противоположный знак.
6)если м-ца имеет 2 одинаков параллельных
ряда,то её опред-тель =0.действительно,поменяв местами 2
одинаковых ряда м-цы
7)определитель в м-це,имеющий 2 пропорциональных параллельных ряда=0.
8)если м-ца В,полученная из м-цы А прибавлением к эл-там некоторого её ряда эл-тов другого параллельного ему ряда,умноженный на некоторое число,то detВ= detА
9. Миноры и алгебраические дополнения.
Пусть дана м-ца размерности m*n, m-строк и n-столбцов,Выберем в этой м-це s-строк и s-столбцов.эл-ты данной м-цы,лежащие на пересечении выбранных s-строк и
s-столбцов образуют квадратн м-цу порядка s. Опред-ль этой м-цы называется минором исходной м-цы порядка s.Sдолжно быть s≤m, s≤n. Пусть дана квадратн м-ца А порядка n,её минор m′,полученный вычёркиванием из неё выбран-
ных s-строк и s-столбцов называется дополнительным минором по отношению к минору М,составленному из эл-тов,лежащих на пересечении выбранных s-строк и s-столбцов.
Эл-ты,лежащие на пересечении выбранных 2 строк и 2столбцов образуют минор 2го порядка
А остающиеся после Вычёркивания выбранных строк и столбцов,тоже образуют минор этой цы.М′=.этот минор называется дополнительн по отношению к минору М.Миноры квадратн м-цы назыв также минорами её опред-ля. Алгебраическим дополнением минора М м-цы А назыв дополнительн ему минор
умноженный на (-1)δ,где δ-это сумма номер строк и столбцов м-цы А, вошедших в минор М.
Am = (-1)3+4+1+3M'
каждый эл-нт квадрат м-цы n-го порядка является её минором(минором 1го порядка).дополнит
ему
минор будет иметь минор n-1,алгебраич
дополнением эл-том aij
в
м-цеА будет величина Aij=
=(-1)i+jМ′.
М′-опред-ль м-цы,котор
получается из м-цы А вычёркиванием из неё i-той строки и j-гостолбца.
а21=3,
А21=(-1)2+1
=-1(-2-4)=6