17. Однородные системы уравнений.

Система линейных уравнений наз. Однородной, если все ее свободные члены =0. Имеет вид:

Т.к. расшир. матрица однородной системы отличается от основной только наличием дополнит-го нулевого столбца, то все не миноры расшир. матрицы содерж-ся в основной матр. Поэтому ранги основной и расширенной матрицы однородной системы всегда совпадают однородная система всегда совместна. отметим также, что любая однородная система имеет решения: =0, =0, =0. Такое решение наз-ся нулевым или тривиальным. кроме этого, решенная однородная система может иметь другое не тривиальное решение, => на основе вышеизложенного можно заключить, что если у однор. системы ранг матрицы равен числу неизвестных, то эта система имеет единственное тривиальное решение. Чтобы однородная система имела не тривиальное решение, необходимо, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных в частности однородная система из n уравнений относительно n неизв. имеет единственное тривиальное решение, когда отличен от нуля. Условием наличия не тривиальных решений у такой системы яв-ся равенство нулю ее определителя.

18. Векторы в трехмерном пространстве. В

Вектором наз-ся направленный отрезок А АВ (Вектор приложен к точке А). Для обозначения длины вектора исп-ют символ І І ( І АВ І ). вектор наз-ся нулевым, если его начало и конец совпадают. векторы наз-ся коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора наз-ся равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

a≠b a≠b a=b

19. Линейные операции над векторами

Суммой + векторов и наз-ся вектор проведенный из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор своим началом приложен к концу вектора .

Cв-ва:

1. + = +

с

2. ( + )+ = +( + )

Существует единственный нулевой вектор, такой, что для любого вектора выполняется равенство:

+0=

Нулевой вектор- это вектор, у которого начало и конец совпадают.

Для каждого вектора существует противоположный ему вектор - . Такой, что 0+( )=0. Сумма произвольного конечного числа векторов может быть найдена по правилу замыкания ломаной. Разностью векторов и наз-ся вектор , который в сумме с вектором дает вектор . произведение вектора на число α (или тоже самое число α на ) наз-ся вектор имеющий длину равную * коллинеарный , направленный одинаково с вектором , если α>0 и противоположно вектору если α<0.

Свойства:

1. α ( + )=α +α

2. (α+ ) = α +β

3. α (β )=(αβ)

Теорема. Вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда существует число λ такое, что вектор равен λ.