15. Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестного

1)Прямой ход метода Гаусса: записывается расширенная матрица, соответ. этой системе . При помощи преобразований, приводим эту матрицу к, так называемой, трапециевидной форме.

=> =>

2) обратный ход метода Гаусса. Записываем линейную систему, соответствующую новой расширенной матрице. Эта система будет равносильна исходной.

=3,

3 =3-3*3=6

= 2

=2+2-3=1

16. Решение произвольных систем уравнений

Теорема1. Для совместности систем линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Теорема2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то эта система имеет бесконечное множ. решений. Пусть необходимо решить систему уравнений относительно 3 уравнений и 4 неизвестных.

Проверяем, совместна или нет.

Ã

Найдем ранги:

=1

Базисным минором наз-ся отличный от нуля минор, имеющий порядок, равный рангу матрицы. Найдем ранг расширенной матрицы. Миноры 1,2 и 3 порядка яв-ся также минорами матрицы Ã . Здесь, среди миноров 3-го порядка кроме миноров и есть еще один.

Ранги матриц равны. r=2<4, значит, теорема имеет бесконечное множество решений.

Уравнения системы, коэфф. Которых входят в базисный минор, наз-ся базисными ур-ями. Можно показать, что системы из базисных ур-ий равносильна исходной системе, т.е. небазисные ур-ия можно отбросить.

Неизвестные коэффициенты, которые входят в базисный минор, наз-ся базисными неизвестными. Остальные неизвестные наз-ся свободными. Придадим свободным неизвестным произвольные значения, где и - произвольные постоянные . Тогда система примет вид =>

Мы получим систему из двух базисных уравнений относительно двух неизвестных и . Определитель этой системы ∆= = ≠0, => эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, по ф.Крамера.

Ответ:

Методика решения произв. систем линейных уравнений:

1.Находим ранги основной и расширенной матриц системы, если они не равны, система несовместна.

2. Если ранги равны, находим базисный минор, выделяем базисные неизвестные.

3. Данную систему уравнений заменяем равносильной ей системой из базисных уравнений.

4. Если число базисных неизвестных совпадает с числом всех неизвестных системы, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, по Крамеру.

5. Если число базисных неизвестных меньше числа всех неизвестных системы, находим выраж. базисных неизвестных через остальные, свободные неизвестные, придавая свобод. неизв. произвольные знач., получаем бесконечное множество решений системы.