49, Сравнение бесконечно малых

Пусть одновременно несколько ф-ций α,β,γ… от одного аргумента х явл. бесконечно малыми, т.е. →0 при х→а либо при х→∞. В дальнейшем мы не будем указывать к чему →х, предполагая один из этих случаев.

Если отношение имеет конечный предел, отличный от 0 =с= const≠0, то бесконечно малые α и β наз. бесконечно малыми одного порядка:

= = const≠0

Если отношение 2-х бесконечно малых →0 ( =∞), то бесконечно малая β наз. бесконечно малой высшего порядка относительно бесконечно малой.

Если сущ. конечный предел =с= const ≠0 (а также и сущ. предел = = const≠0), то относительно бесконечно малая β наз. бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой α.

Пример: 2х, sin 3х явл. бесконечно малыми, при х→0

Найдем предел их отношения

следовательно эти бесконечно малые одинаково порядка.

Пример: х,sin x – бесконечно малые, при х→0

- это эквивалентно бесконечно малые (sinх~х), при х→0

Пример: α=2х², β=х⁶

зн. β=х⁶ – бесконечно малое высшего порядка относительно 2х², при х→0

Бесконечно малое β=х⁶ явл. бесконечно малой 3-го порядка относительно бесконечно малой α=2х².

Пример: ln(1+x)~x, при х→0

Можно также показ., что arcsin x ~x, при х→0.

=

Замена: у=arcsin х, х=arcsin у, х→0,то у→0.

Теорема:

Если α и β ~∞ малые, то их разность явл. бескоенечно малым высшего порядка относительно α или β.

Док-во: Так как α и β эквивалентны, то 1.

Предел:

Таким образом α-β – бесконечно малые высшего порядка относительно α.

Аналогично: lim =0

Справедливо также обратная теорема: если разность α-β явл. бесконечно малой высшего порядка, чем α и β, то α и β – эквивалентны бесконечно малым.

Док-во: если

Замечания:

Если отношение 2-х бесконечно малых не имеют предела и этот предел ≠∞, то эти бесконечно малые не сравнимы в смысле данных выше определений.

Пример: α=х и β=х*sin x, при х→0

Предел: - не сущ., поэтому эти бесконечно малые не сравнимы.

Теорема:

Предел отношения 2-х бесконечно малых не изменяется,если числитель и знаменатель заменить эквивалентно бесконечно малыми.

Пример:

ln (1+x)~x

ln (1+3x)~3x

~x

=1

=

51. Геометрический смысл производной

Пусть дана некоторая кривая. Выберем на ней некоторые т. М₀ и М₁, проведём через них секущую, затем т.М₁ будет приближаться к т. М₀.

Определение: Если при неограниченном приближении точки М₁ по кривой в точку М₀ с любой стороны секущая стремится занять положение некоторой прямой, то эта прямая называется касательной в данной кривой в точке М₀

Рассмотрим график ф-ии y=f(x)

Из видно - tg угла наклона по отношению к положительному направлению оси Ох.

Перейдём к пределу при ∆х→0

При уменьшении ∆х, точка М₁ будет приближаться к точке М₀

В пределе секущая М₀М₁ перейдёт в касательную к графику в точке М₀ .В результате

Производная функции y=f(x) в точкеx₀ = tg угла наклона касательнойц к графику этой ф-ии в т. (x₀f(x₀)) по отношению к положит. направлению оси Ох.