46. Классификация точек разрыва

Если ф-ция f(x) такова, что сущ. конечные пределы

,то сущ. конечные пределы, но либо ф-ция f(x) не определена в точке х₀, либо не все числа f(x₀), f(x₀-0), f(x₀+0) = друг дргу, то точка х₀ наз. точкой разрыва 1 – ф-ции f(x). В частности, если пределы слева и справа в этой точке совпадают , но ф-ция в точке х₀ не определена, то точка х₀ наз. устранимой точкой разрыва (устранимую точку разрыва можно устранить, положив после чего определенная таким образом ф-ция будет непрерывная)

Пример: .

У=0 - имеет разрыв 1-го рода, т.к. справа сущ. однако они ≠ друг другу, поэтому она неустранимая точка разрыва.

Ф-ция , при х=0 имеет разрыв 1-го ранга

но пределы слева и справа = друг другу

поэтому точка х=0 явл. усранимой точкой разрыва. Доопред. ф-цию, при х=0, занечение 1 получим непрерывную ф-цию , при х≠0, и =1, при х=0

Все точки разрыва не явл. точками разрыва 1-го рода наз. точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относят точки бесконечного разрыва (пример 1)

Пример:

Докажем, что ф-ция у=х² непрерывна в любой точке х₀. Действительно, дадим переменной х=Δх, тогда ф-ция у получит преращение:

Δу=(х₀+Δх)²- Δх х₀+ Δх- х₀ Δх+ Δх²

Предел = х+

у=х² – непрерывна на все числовые суммы.

Используя свойства предела можно док-ть сл.:

1.Сумма 2-ых непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция;

2. Произведение 2-х непрерывных ф-ций – ф –ция непрерывная;

3.Частное 2-х непрерывных ф-ций – непрерыв. ф –ция, если знаменатель не обращается в 0.

4. Если ф-ция u=u(x) непрерывная в точке х₀, а ф-ция у=у(х) непрерывная в точке u₀=u(x₀), то сложная ф-ция y(u(x)) – непрерывная в точке х₀

Используя эти утверждения можно док-ть сл. теорему:

Всякая элемент-ая ф-ция непрерывная в любой точке, в кот. она определена.

Определение: Если ф-ция y=f(x) непрерывна в каждой точке некот. интервала (а;b), то говорят, что она непрерывна на данном интервале (а;b).

Определение: Если ф-ция y=f(x) определена при х=х₀ и если сущ. предел / , то ф-ция f(x) наз. непрерывной в точке х₀ слева (справа).

определение: Ф-ция f(x) наз. непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (а;b), а также она непрерывна в точке а и справа, a b в т.b слева.

50. Производная. Определение и физ. Смысл.

Пусть некот. тело движется неравномерно, пусть закон по кот. измен-ся пройденный путь, в зависимости от времени, опред-ся ф-цией s=s(t). Для опред-ия быстроты движения выводят понятие средней v_ср.=

Мгновенная скорость – производная от пути до времени.

Пусть дана ф-ция y=f(x). Дадим переменной х приращение в Δх. Тогда ф-ция у получит приращение Δу=f(x+Δx)=f(x). Если сущ. предел отношения приращения ф-ции к приращению аргументы, когда приращение ф-ции →0, тогда этот предел наз. произвожной f(x) и обознач. f’(x). Т.о. по определению:

f’(x)=

С учетом данного определения мгновенная v: v(t)=s(t)

Производную можно образовать:

f ’(x); у’(x);

f’(x₀); у’(x₀); у х/х-х₀;

Физ. смысл производной – скорость изменения ф-ции в зависимости от изменение аргумента. Операция нахождение производной наз. дифференцированной.

Найдем производную ф-ции y=cos x при помощи опред-ия производной:

х=Δх, тогда ф-ция получит приращение: Δу=cos(x+Δx)-cos x= 2 sin sin )

(cos x)’= =-sin x (cos x)’=-sin x/

Аналогично:

(-sin х)’=cos x

С помощью опред-ия производной найдем производную ф-ции у=х².

Аналогично, если х=Δх, то у=Δу

Δу= (х+Δх)²-х²= х²+ 2Δх+Δх²-х²

(х²)’=

(х²)’=2х. Эта формула явл. частным случаем. (xⁿ)’=nx^n-1