7. Определение предела функции

1) x R

f:x→R

Пусть x₀ – предельная точка для множества X. Число А назыв. пределом функции f(x) в точке x₀,если для любого ξ>0 найдется Δ окрестность точки x₀(V_ξ(x₀)) такая, что для всех x≠x₀ и принадл. пересеч. Δ окрестности с множеством X (x€V_ξ(x₀) X), выполняется неравенство: |f(x)-A|<ξ(только для конечной точки), f(x)€V_ξ(A) f(x) принадлежит эпсилон окрестности точки А.

Определение предела по КОШИ:

2) x₀-…х, то А – предел. Если последовательность x_n→x₀(x_n≠x₀) множество значений y_n=f(x_n)→А

Предел функции:

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D. Число а называется пределом ф-ции y=f(x) в точке x₀ и пишут limf(x)= a_n, если для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такое что для любого x€D

0<|x-x₀|<Δξ след нер-во |f(x)-a|<ξ

Критерий Коши:

Для того чтоб ф. y=f(x) имела предел в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такая что |f^|(x)-f^||(x)|<ξ, как только |x^|- x₀|<Δ(ξ) и |x^||- x₀|<Δξ. Говорят что число а есть предел функции y=f(x) при x, стремящимся к бесконечности и пишут lim_x→∞f(x)=а, если для любого ξ>0 сущ. число A(ξ)>0, такое что |f(x)-a|<ξ, как только |x|>A(ξ)

8. Односторонние пределы функции

Предел справа функции f(x) в точке x₀ называется limf(x) x→x₀, x>x₀

Аналогично пределом слева функции f(x) в точке x₀ называется limf(x) x→x₀, x<x₀

lim_x→x0+0f(x) предел справа

lim_x→x0-0f(x) предел слева

Теорема связывающая односторонние пределы и пределы функций:

для того чтобы сущ. предел функции f(x) в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы сущ пределы lim_x→x0f(x₀) <-> lim_x→x0-f(x)=lim_x→x0+f(x)

α(x) бмв x₀

lim_x→x0α(x)=0

lim_x→x0(f(x)/g(x)) [0/0]

lim_x→x0f(x)= lim_x→x0g(x)=0

§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное

условия существования предела в точке.

9. Замечательные пределы

1ый замечательный предел:

lim_x→0(sinx/x)=1

уголBOA=x

S_ΔOBA≤S_секOBA≤S_ΔOB1A

1/2OA*BE≤1/2OA*BA(дуга)≤1/2OA*B1A

BE≤BA≤B1A

OAsinx≤OAx≤OAtgx

sinx≤x≤tgx

1≤x/sinx≤1/cosx

cosx≤sinx/x≤1

cosx=1-2sin²x/2

1-2sin²x/2≤sinx/x≤1

(1-x²/2)/1≤sinx/x≤1

s inx/x→1

2ой замечательный предел

e^iπ=-1

10. Классификация бмв. Эквиваленты.

α(х), β(х) бмв x₀

lim_x→0(α(х)/β(х))=(k или не существует предела)

1. k≠0, то велечины α и β одного порядка малости.

2. k=0, то БМ α более высокого порядка малости чем БМ β.

3. k=∞, то величина α имеет более низкий порядок малости, чем величина β.

4.если предела не существует –> то бмв α и β несравнимы.

Эквивалентные БМ

α(х), β(х) бмв x₀

- называются эквивалентными, если предел отношения lim_x→x0(α(х)/β(х))=1

Св-ва:

1. α~β, β~γ => α~γ

lim(α/γ)=lim((α/β)*(β/γ))=lim(α/β)*lim(β/γ)=1 α и γ – эквивалентные БМ

2. α~β => β~α

3. α~α

4. α~β => α-β Если α и β эквивалентные БМВ, то разность между α и β есть БМВ более высокого порядка малости.

5. если α~α^|, a β~β^|, то предел отношения α на β равен пределу отношения α^| на β^|

lim(α/β)=lim(α/α^|)lim(α^|/β^|)lim(β/β^|)=lim(α^|/β^|)

док-во 4ого св-ва:

lim((α-β)/α)=lim((α/α)-(β/α))=1-1=0

α-β – есть величина более высокого порядка чем α.