3. Бмв. Теоремы о бмв

Числ. посл. называется бесконечно малой, если ее предел = 0. БМ функция может быть только если указать у какому числу стремится аргумент х. При различных а функция может быть бесконечно малой или нет.

T: для того, чтобы f(x) при x→a имела предел равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки x=a выполнялось условие f(x)=A+α(x), где α(x) – БМВ при x→a(α(x)→0 при х→а)

Св-ва: 1) сумма БМВ явл БМВ 2) произвед. 2х БМВ есть БМВ 3) произведение ограниченной последовательности БМВ есть БМВ 4) если БМВ умножить на const то получ. БМВ 5) частное от деления БМВ, предел которого ≠ 0, есть БМВ

4. Свойства пределов выражаемые равенствами.

1. Предел постоянной числовой последовательности есть сама последовательность. lim_n→∞C=C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела limCx_n=C limx_n

3. Предел суммы 2х числ. последовательностей равен сумме пределов

lim(x_n+y_n)=limx_n+limy_n

4. предел произведения 2х числ. послед. равен произведению пределов

lim(x_ny_n) =limx_nlimy_n

Док-во: x=lim_n→∞x_n y=lim_n→∞y_n, y_n=y+β_n x_n=x+α_n, α_n,β_n – БМВ

limx_nlimy_n=lim((x+α_n)(y+β_n))=lim(xy+xβ_n+ yα_n+α_nβ_n)=limxy+limxβ_n+limyα_n+limα_nβ_n=xy= limx_nlimy_n

5. lim(x_n/y_n) =limx_n/limy_n, limy_n≠0

5. Свойства пределов выражаемые неравенствами

1) Tеорема о предельном переходе в неравенство: Пусть для всех х_n, х_n не превосходит y_n, тогда предел х_n не превосходит y_n.

Док-во:

x=lim_n→∞х_n, y=lim_n→∞y_n

I x≤y II x>y – не выполн.

рассм II.

пусть x-y/2=ξ

ξ>0, сущ. N_ξ(N^||_ξ), такое что для всех n>N_ξ(n>N^||_ξ) и |х_n-x|<ξ(|y_n-y|<ξ). n_ξ=max N^|_ξ, N^||_ξ y<n

x-ξ< х_n<x+ξ

y-ξ< y_n <y+ξ x>y – не верно.

2) если f(x)>0 вблизи точки x=a и lim_x→af(x)=A, то А>0

3) если g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи х=а, то и limf(x)=limg(x)=limu(x)=A

4) если ф-ция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х=а.

Док-во:

пусть lim_x→af(x)=A; т.е. |f(x)-A|<ξ, тогда

|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A| или |f(x)|<ξ+|A|, т.е. |f(x)|<M, где M=ξ+|A|

6.Принцип вложения отрезков. Теорема о «2х милиционерах»

1. Множество, элементами которого явл. отрезки наз. системой отрезков.

2. Система замкнутых отрезков [a_n,b_n] назыв. стягивающей если а) V_n[a_n+1,b_n+1] [a_n,b_n], т.е. каждый посл. отрезок расположен внутри предыдущего. б) b_n-a_n→0, n→∞, т.е. длины отрезков стремятся к 0. в) для любой системы замкнутых стягивающих отрезков сущ. единств. точка, принадлежащая всем отрезкам. Док-во:

1. рассм. множество {a_n} левых концов наших отрезков. Очевидно что: а) a_n↑ б) сущ. n, a_n<b₁ поэтому сущ. конечный lim_n→∞a_n

2. рассм. множество {b_n} правых концов наших отрезков => a) b_n ↓ б) сущ. n b_n>a₁, поэтому сущ. lim_n→∞b_n

3. Т.к. по усл. lim_n→∞(b_n-a_n)=0, то lim_n→∞b_n- lim_n→∞a_n=0 => lim_n→∞a_n= lim_n→∞b_n, обозначим этот общ. предел через с.

4. т.к. a_n↑ а b_n ↓, то очевидно что сущ а_n≤с≤b, т.е. точка С€[a_n,b_n] (она принадлежит всем отрезкам сразу)

Теорема о «2х милиционерах»

Пусть имеется 3 числ. последовательности {х_n},{y_n},{z_n} и между членами этих последовательностей выполняется неравенство: х_n≤z_n≤y_n

тогда, если lim_n→0х_n= lim_n→0y_n, то lim_n→0z_n существует.

P=lim_n→0х_n= lim_n→0y => lim_n→0z_n=P

Док-во:

Возьмем ξ>0, подберем n>N^|, чтобы |х_n-P|<ξ, n>N^||, |y_n-P|<ξ

теперь с учетом условия:

х_n≤z_n≤y_n

P-ξ<y_n<P+ξ

P-ξ<x_n<P+ξ

P-ξ< х_n≤z_n≤y_n<P+ξ, оно будет выполнятся для n>N = max {N_ξ^|, N_ξ^||}

|z_n-P|<ξ – выполняется.