2.3 Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке .
Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой на отрезке заменяется касательной к этой кривой, за приближенное значение корня принимается абсцисса точки пересечения касательной с осью Ох.
Пусть для
определенности
и
на
,
то есть имеем случай 1).
y
a
x*
c’1
0 c’2
b x
График функции
проходит через точки
и
.
Проведем касательную к кривой в точке
.
Найдем абсциссу точки пересечения
касательной с осью Ох.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
(5)
Полагая
и
,
из (5) выразим
:
(6)
(6) – формула метода касательных.
Теперь корень
уравнения находится на отрезке
.
Проведем касательную к кривой в точке
и найдем точку пересечения касательной
с осью Ох. Обозначим абсциссу -
и получим:
(7)
Получаем
последовательность приближенных
значений
.
Каждый последующий член, которой ближе
к корню
.
Последовательность
- убывающая и ограничена снизу числом
.
По теореме об ограниченной
последовательности, она сходится и
имеет предел
.
За приближенное значение корня можно
принять к-ое приближение
.
Аналогичным образом строится
последовательность и в случае 3).
Замечание: для того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ох лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в том конце, где знаки функции и второй производной одинаковы.
Для случая 2) и 4) касательную надо проводить в точке A, где в – неподвижный конец.
Строя приближения, получим последовательность возрастающую и ограниченную сверху , следовательно, она имеет предел
В случае 1) и 3)
приближенное значение
,
- приближенное
значение корня
с избытком.
Во 2) и 4) – приближение - приближение с недостатком.
Для оценки погрешности приближенного значения корня справедлива следующая теорема.
Теорема: если
точный корень уравнения
и его приближенное значение
,
на котором функция
дифференцируема и
,
,
то справедливо неравенство
Доказательство:
Так как
и
,
на котором функция дифференцируема,
то она и непрерывна в этом промежутке
и в частности на концах, тогда выполняется
условие теоремы Лагранжа для отрезка
.
По теореме Лагранжа имеем:
,
.
Так как
,
то
Взяв модули, имеем:
Так как
,
то
Если за
взять
(
или
),
то
,
(8)
где
на множестве Х
- n –ое приближение, полученное по методу хорд ( ) или касательных ( ).