28.Выпуклость вверх и вниз. Точки перегиба. Необходимое условие существования точек перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

 Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

 Доказательство. Пусть х₀  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

            Уравнение кривой: y = f(x);

            Уравнение касательной: 

Следует доказать, что  .

 

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀):      , x₀ < c < x.

 

 

По теореме Лагранжа для    

 

Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию

,  следовательно,     .

 

Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0,   c – x₀ < 0, т.к. по условию  то

.

 Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

 Теорема доказана.

 Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

 Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

 Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

            Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

 

1)      Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда  при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

 

Теорема доказана.

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то  .

29.Два достаточных условия существования точки перегиба.

 1. Если   меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ - точка перегиба.

     2. Если   то при n четном x₀ - точка перегиба, при n нечетном x₀ не является точкой перегиба.

31.Вертикальные и наклонные асимптоты. Полное исследование графика функции.

Вертикальной асимптотой графика функции   называется вертикальная прямая  , если   или   при каком-либо из условий:  ,  ,  . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка   принадлежала области определения функции  , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:   или  , где  .     

Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если выполнены два условия:  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

    

Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

Найти точки пересечения с осями координат

Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Найти наклонные асимптоты функции.

Построить график функции.