Приклади розв’язання задач
1.1. Обчисліть визначник другого порядку
1.2. Обчисліть визначник третього порядку
З
гідно
правила трикутника, маємо
1.3. Обчисліть визначник третього порядку
Р озклавши визначник по елементах 1-го рядка, одержимо
1.4. Обчисліть попередній приклад інакше, використавши властивості визначників.
Д о елементів 1-го рядка додамо відповідні елементи 2-го рядка, помножені на 5, а до елементів 3-го рядка - відповідні елементи 2-го рядка, помножені на 7.
Розклавши визначник по елементах 1-го стовпця, одержимо
1.5. Обчисліть визначник
В иконаємо такі дії: 1) до елементів 1-го рядка додамо помножені на -3 відповідні елементи 2-го рядка; 2) до елементів 3-го рядка додамо подвоєні елементи 2-го рядка; 3) до елементів 4-го рядка додамо відповідні елементи 2-го рядка, помножені на -1. Тоді вихідний визначник перетвориться до вигляду.
Розклавши цей визначник по елементах 1-го стовпця, маємо
Додамо до елементів 1-го рядка елементи 3-го рядка і віднімемо від елементів 2-го рядка елементи 3-го рядка, одержимо
Розкладемо визначник по елементах 1-го стовпця.
1.6. Обчисліть визначник п’ятого порядку
Д
ля
перетворення в нуль всіх елементів
(крім одного) будь-якого рядка чи стовпця,
вибираємо той рядок або стовпчик, який
складається з найменших чисел. У
визначнику таким буде другий стовпчик.
Залишимо в ньому без змін елемент а22=-1,
а всі інші перетворимо в нулі. Для цього
виконаємо:
Одержимо:
Розкладемо визначник по елементах другого стовпця.
В одержаному визначнику вже 4-го порядку з найменших елементів складається 4-ий рядок. Перетворимо в нулі всі його елементи, крім а42=-1. Для цього виконаємо
(Іст+(-3)ІІст, ІІІст+2 ІІст, ІVст+3 ІІст). В результаті одержимо:
Розкладемо визначник по елементах четвертого рядка
(Ми винесли за знак визначника спільний множник з елементів другого рядка і спільний множник з елементів третього рядка).
Для зменшення елементів цього визначника додамо перший стовпець до другого та третього:
О станній визначник розклали по елементах третього стовпця.
1.7. Обчислити визначник n-го порядку, звівши його до трикутного вигляду:
.
Δ Віднімемо І рядок від усіх інших.
До І стовпця
додамо суму всіх інших.
