Вопрос 78. Экстремум функции: максимум и минимум. Достаточный и необходимый признаки экстремума.

Экстремум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Необходимый признак существования экстремума: если х = а является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f'(a) = 0.

Достаточный признак существования экстремума: если производная f'(x) при переходе х через а меняет знак, то а является точкой экстремума.

Если при переходе через критическую точку x₀ производная f'(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум ― когда с плюса на минус.

Если же при переходе через критическую точку x₀ производная f'(x) не имеет знака, то функция f(x) в точке x₀ не имеет экстремума.

Вопрос 79. Определение множества. Основные операции над множествами.

Множество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств.

Существует два подхода к понятию множества.

Первый — так называемая «наивная теория множеств» (созданная Кантором, см. ниже историю). Дать определение чему-либо — это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество — как раз одно из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определенный набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам.

Второй — аксиоматическая теория множеств.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Операции над множествами:

• Пересечение

• Объединение

• Дополнение

• Разность

• Симметрическая разность

• Декартово или прямое произведение

Вопрос 80. Понятие случайной величины. Вероятность события. Математическое ожидание и дисперсия случайной велечины.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, не известно заранее какое именно.

Примеры сл величин

1)Кол-во совершенных преступлений за год

2)Число автомобильных аварий на улицах города и так далее.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное но счетное.

Под непрерывной понимают величину, бесконечное множество значений который есть некоторый интервал

Законами распределения случайной величины называется соотношения, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Вероятность события – численная мера степени объективной возможности наступления события. Согласно классическому определению, вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев.

Св-ва мат. ожидания:

1. МО постоянной величины равно самой постоянной.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

3. МО алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их мат.ожиданий.

4. МО произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий.

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (уменьшится) мат.ожидание этой случайной величины .

6. МО отклонения случайной величины от её математического ожидания равно нулю.

Дисперсией D(X) случайной величины X называется мат.ожидание квадрата её отклонения от мат.ожидания.

34