§9. Характеры представлений

Этот параграф посвящён так называемым характерам представлений. Введение этого понятия в теорию представлений оказалось чрезвычайно полезным в силу ряда их ценных свойств.

Характером представления T(g) называется сумма диагональных элементов матрицы, соответствующей в каком-либо базисе операторуТ(g). По терминологии близкой к терминологии матричной квантовой механики сумма диагональных элементов матрицы называют её следом или шпуром и обозначают так .

Из теорем матричной алгебры следует, что шпур матрицы является инвариантной величиной, т.е. не зависит от выбора базиса пространства представлений. Перечислим следующие свойства:

а) эквивалентные представления имеют одинаковые характеры. Это свойство вытекает из инвариантности шпура;

б) характеры матриц представления, соответствующие элементам одного класса совпадают;

в) характеры неприводимых представлений обладают свойством ортогональности:

Доказательство этого свойства немедленно следует из соотношений ортогональности матричных элементов неприводимых представлений;

г) характер приводимого представления равен сумме характеров приводимых представлений, на которые оно может быть разложено. Это становится очевидным, если вспомнить квзидиагональный характер матрицы приводимого представления. Если обозначить через характер приводимого представления, то

где число показывает, сколько раз неприводимое представление входит в приводимое. Воспользовавшись свойством ортогональности характеров нетрудно получить

Отсюда следует, что разложение приводимого представление на неприводимые представления может быть выполнено единственным образом и представлено в таком символическом виде

,

где обозначает прямую сумму матриц.

§10.Регулярное представление

Пусть задана группа G. Возьмём произвольный её элемент и произведём операцию левого сдвига по группе, т.е. каждый элемент группы умножим слева на . Тогда как мы знаем из §2, если то ни один элемент группы не останется на месте. Если же то никакого сдвига не произойдёт. Сдвиг, соответствующий любому элементу , можно формально записать с помощью матрицы порядка m:

.

Очевидно, что в каждом столбце матрицы R имеется только один элемент отличный от нуля и равный единице. Если то а , если . Матрицы, построенные таким образом, дают представление порядка m группы G, которое называется регулярным.

Из определения регулярного представления следует, что его характеры таковы:

если

если

Разложим регулярное представление на неприводимые части, т. е. выясним, сколько раз в нём содержится каждое неприводимое представление . Для этой цели нам следует найти величину . По известной формуле для неё, получаем

Или, согласно последним формулам для характеров регулярного представления

Таким образом, мы видим, что каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении столько же раз, каков порядок этого неприводимого представления.

С помощью этой теоремы мы можем выразить порядок регулярного представления через порядки неприводимых представлений, на которые оно распадается. Вот это выражение

В заключение этого параграфа без доказательства сформулируем ещё одну теорему: число различных неприводимых представлений группы равно числу её классов сопряжённых элементов.

На основании теоремы о произведении двух классов сопряжённых элементов нетрудно получить основную формулу для вычисления характеров неприводимых представлений:

,

где - число элементов в классе p-номер неприводимого представления, - его размерность. На основании выше изложенного, можно сделать такой вывод: поскольку в циклической группе каждый элемент группы сам по себе образует класс, значит, число представлений в этой группе равно числу её элементов и каждое представление имеет размерность равную единице.