§12.Теория групп и квантовая механика
Применение
теории групп для квантовомеханических
исследований связано, главным образом,
с определённой симметрией гамильтониана
физической задачи. В квантовой механике
часто встречаются функции многих
переменных
.
Будем записывать их в виде,
где
вектор
в n-
мерном векторном пространстве. Исследуем
изменение этих функций при вещественных
ортогональных преобразованиях координат.
Запишем это преобразование в матричной
форме
или
просто
.
В этом выражении
-
матрица с элементами
.
Для
матрицы ортогональных преобразований
можно записать цепочку равенств: обратная
матрица равна своей транспонированной
,
которой, в свою очередь, равна эрмитово
сопряжённая
,
т.е.
Здесь
уместно рассмотреть ещё одну трактовку
группы вращений. С одной стороны,
унитарные (ортогональные матрицы)
рассматриваются как преобразования
координат неподвижных векторов (как у
нас и записано) при вращениях
системы координат, либо как вращение
пространства
.
Иными словами, группа унитарных
(ортогональных) матриц с определителем,
равным единице, изоморфна не только
группе вращений пространства, но и
группе вращений системы координат. В
силу этого изоморфизма обе группы носят
общее название группы вращений.
Возвратимся к материалу параграфа.
Функцию
можно переписать в новой системе
координат. Пусть, например, она описывает
барометрическое давление в зависимости
от широты и долготы, а матрица
описывает вращение системы координат
на этой карте. Говоря о функции в новой
координатной системе, будем пользоваться
обозначением
.
Поскольку погода, где бы то ни было, не
может зависеть от того, вращает ли
метеоролог свою координатную систему,
должно быть справедливо соотношение
или
.
Отметим,
что знак равенства здесь означает
одинаковые численные значения
рассматриваемой функции в соответствующих
точках, но необязательно один и тот же
функциональный вид её в разных системах
координат. Мы можем формально определить
операцию, обратную
,
введя матрицу обратную
,
тогда по аналогии, с написанными выше,
выражениями, имеем соотношение
.
Отсюда и из верхних соотношений нетрудно получить такую цепочку равенств
.
Совокупность этих выражений как раз и доказывает изоморфность группы вращения пространства группе операций вращения системы координат.
Запишем уравнение Шрёдингера
Оператор Гамильтона H(x) может содержать не только функции переменных, но и соответствующие производные. Пользуясь определениями операторов и , напишем
.
Так
как это выражение не содержит никаких
предположений относительно оператора
Гамильтона
,
то операторы в этом выражении слева и
справа должны быть равны, т.е.
.
Преобразования координат, которые мы называем операциями симметрии, могут оставлять гамильтониан системы совершенно неизменным:
.
Таким образом, из последних двух соотношений получаем
,
т. е. операторы симметрии и гамильтониана коммутируют. Но из квантовой механики известно, коммутирующие операторы имеют один и тот же набор собственных функций. Отсюда следует важность изучения представлений групп для данной задачи: каждому собственному значению энергии мы можем сопоставить некоторое представление группы и установить возможные типы симметрии волновых функций системы, не решая уравнения Шрёдингера.
Для решения задач конденсированного состояния вещества, в частности, для молекул и твёрдых тел так и поступают. Здесь мы не имеем возможности рассмотреть построение неприводимых представлений и их базисов конкретных групп. Однако отдельные примеры такого построения будут рассмотрены в соответствующих разделах. Для решения задач в мире элементарных частиц используются релятивистки - инвариантные уравнения, т.е. уравнения инвариантные относительно преобразований группы Лоренца.
Более подробно теорию групп и её применение для решения физических задач, более подробно можно ознакомиться по литературе приведённой в конце конспекта.