2. Способы задания функций. Примеры функций из психологии, экономики и социологии.

Рассмотрим основные способы задания функций:

Аналитический способ, если функция задана формулой . Аналитический способ удобен для решения задач прогнозирования.

Пример. , где у — годовой темп прироста ставки заработной платы (в процентах), х — общий уровень безработицы (в процентах). Это формула Филлипса.

Табличный способ, если дана таблица, содержащая значения переменной x и соответствующие значения переменной y. В виде таблиц записываются результаты экспериментального исследования каких-либо социологических процессов и явлений.

Пример. Рост числа научных изданий у, начиная с 1750 г. с интервалом в 50 лет, в зависимости от года x, выглядит (округленно) следующим образом.

X	1750 г.	1800 г.	1850 г.	1900 г.	1950 г.
У	10	100	1000	10000	100000

К недостатку табличного способа можно отнести невозможность поместить в таблице все значения аргумента.

Графический способ, если задан график функции. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), т.е. абсциссами является значения переменной x, а ординатами – соответствующие им значения функции y.

Рассмотрим основные элементарные функции:

степенная функция , где – действительное число;

показательная функция  , где ;

логарифмическая функция , где ;

тригонометрические функции ;

обратные тригонометрические функции .

Приведём примеры функций из психологии, экономики и социологии.

1. Для большого числа групп одинакового размера n эмпирически (на основе опытных данных) вычисляется — частота действий индивида r-го ранга в группе размера n. Функция частоты действий индивида от его ранга r имеет вид: , где - эмпирический коэффициент для группы размера n.

2. Функция цены от спроса товара. Если х - спрос на товар, у - цена товара, то у=f(x). Например, .

3. Функция спроса от цены товара. Пусть х - цена товара, у - спрос на товар, то у=f(x). Например, .

4. Сумма денежного вклада в Сбербанке у - функция от времени x, которое хранится вклад: у = f(х). Например, .

5. Психофизический закон Вебера-Фехнера: , где S – интенсивность ощущения,Y – интенсивность раздражителя, a и b – константы, зависящие от условий и вида раздражителей.

6. Скорость смены представлений в сознании (И. Гербарта): , где x – время, y – скорость, a и b – константы, зависящие от опыта.

7. В психологическом тесте Д. Векслера зависит линейно от шкальных оценок по 11 субъектам этого теста

, где -общий показатель уровня интеллекта, 1 - шкальные оценки, b₀ - поправка на зависимость относительного интеллекта от возраста человека.

3. Понятие предела функции. Теоремы о пределах.

Мы будем использовать понятие интервала. Пусть - действительные числа, . Рассмотрим определения различных интервалов.

- открытый интервал;

- замкнутый интервал.

Полуоткрытые (полузамкнутые) интервалы:

- интервал, открытый слева и замкнутый справа;

- интервал, открытый справа и замкнутый слева.

Полубесконечные интервалы:

, , , .

Напомним, что - это множество всех действительных чисел.

Пусть - действительное число, - положительное число. Открытый интервал называется - окрестностью числа . Окрестностью числа называется множество, которое содержит некоторую -окрестность этого числа.

Рассмотрим функцию y = f(x), xX и пусть x₁X и x₂X, причем x₁<x₂, тогда функция называется: монотонно возрастающей, если f(x₁) < f(x₂), монотонно убывающей, если f(x₁) > f(x₂), неубывающей, если f(x₁)  f(x₂), невозрастающей, если f(x₁)  f(x₂).

Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к a, если при любом  > 0 существует такая окрестность точки a, что для любого x  a из этой окрестности выполняется

Если A является пределом функции в точке а, т.е. при , то это записывается так:

или .

Предел постоянной функции в любой точке равен этой же постоянной.

Если функция f(x) имеет предел при x, стремящемся к a, то этот предел единственен.

Теоремы о пределах функции: Если при xa существуют пределы функций f(x) и g(x), то существуют также и пределы их суммы, произведения, частного в точке a, причем:

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

.

Пример. Вычислить пределы:

1) ,

2) .

Функция y = f(x) называется бесконечно большой в точке a, если

, аналогично определяется, если , т.е.

Функция y = f(x) называется бесконечно малой в точке a, если , аналогично .

Очевидно, что если f(x) – бесконечно большая функция при xa, то функция - бесконечно малая при xa.

При решении конкретных задач в отсутствии неопределённостей пользуются таблицами наиболее часто встречающихся пределов, значения которых много раз проверены:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) , где с = const,

6) .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции обладают свойствами:

Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при также является бесконечно малыми функциями при .

Пример. Функция является бесконечно малой в точке , т.к. . А функция является бесконечно малой при , так как и бесконечно большой при x=1 так как .

Если и – б.м. величины при , то выражение при называется неопределенностью вида , если же и – б.б. величины при , то выражение при называется неопределенностью вида , а выражение – неопределённостью вида .

Раскрытие неопределенностей.

Раскрыть неопределённость – значит найти предел соответствующего выражения, если он . Для раскрытия неопределённости используют следующие приемы, если функциональное соответствие представляет собой отношение двух многочленов ,и , то следует числитель и знаменатель разделить на , где .

Пример. Вычислить предел