2.4 Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме

Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которой она расположена. (основная теорема Гидростатики).

p_x=p_y=p_z=p_n

Где p_x, p_y, p_z – гидростатическое давление по направления координатных осей, а p_n- по произвольному направлению.

В диф форме:

(2.4)

Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Гидростатическое давление в точке будучи одинаковым по любому направлению, не одинаково в различных точках пространства то есть является функцией координат.

p=f(x,y,z)

2.5 Основное уравнение гидростатики в интегральной форме для несжимаемой жидкости

Возьмем сосуд с жидкостью представленный на рис 2.5 жидкость находится в покое. Из всех объемных сил на него будут действовать только сила тяжести.

Тогда проекции ускорений на оси a_y=Y и а_х=X будут равны 0, а a_z=Z = -g

Атмосферное давление воздействующее на поверхность жидкости = p₀

Подставляем эти значения в осн. ур. в диф. Форме

Интегрируем данное выражение

=const

Чтобы определить постоянную интегрирования С рассмотрим сосуд с жидкостью.

Для точки находящейся на поверхности p=p₀ и z=z₀.

Тогда находим сто постоянная интегрирования равна

Тогда основное уравнение гидростатики запишется в виде.

Или

, или

Вместо разницы координат z₀-z для жидкости удобнее ввести глубину h погружения точки под уровень свободной поверхности. При этом для гидростатического давления в данной точке несжимаемой жидкости будем иметь:

р = p_о + γh (2.6)

Это и есть уравнение гидростатики для несжимаемой жидко­сти, когда из объемных сил на нее действуют только силы тяжести.

Входящее в него давление р_о на свободной поверх­ности называется начальным гидростатическим давлением, а давление

р' = γh = ρgh — избыточным гидростатическим давле­нием.

Таким образом, полное гидроста­тическое давление р данной точке не­сжимаемой жидкости складывается из начального и избыточного гидростатиче­ских давлений, т. е.

р = р_о + р' (2.7)

Из формулы (2.6) следует, что вели­чина избыточного гидростатического дав­ления в данной капельной жидкости за­висит только от глубины погружения точки и прямо пропорциональна ей.

Избыточное давление может быть как положительной, так и отрицательной. Такая трактовка приводит нас к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (2.7) может быть представлено как сумма барометрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е.

(2.8)

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом.

2.6 Гидростатический напор

(2.9)

В таком виде все его члены выражаются в единицах длины и носят название напоров. Величина z характеризует положение жидкой частицы над произвольно выбираемой горизонтальной плоскостью отсчета, т.е.

z - это геометрический напор;

- пьезометрический напор.

Сумму этих величин называют гидростатическим напором. Чтобы уяснить физический смысл этих величин, рассмотрим простую схему, показанную на рис. 2.2.

Представим герметично закрытый сосуд, заполненный жидкостью, находящейся под давлением. Выберем в этом сосуде две произвольно рас­положенные точке А и Ви, опять-таки произвольно, горизонтальную плоскость О–О, которую назовем плоскостью отсчета.

Рис. 2.2

Координаты частиц, расположенных в точках А и В будут Z_A иZ_B. В соответствии со сказанным выше, величины Z_A и Z_B выражают геометрический напор. Введем теперь через крышку сосуда в точки А и В сообщенные с атмосферой стеклянные трубки. Эти трубки называют пьезометрами. Поскольку по условию жидкость находится под давлением, то она начнет подниматься по пьезометрам. Не представляет труда и ответ на вопрос о том, когда прекратится подъем. Очевидно, что это произойдет в тот момент, когда высота столба жидкости уравновесит давление в рассматриваемой точке. Это и есть пьезометрическая высота, либо пьезометрический напор.

Соотношение (2.9) справедливо для любых произвольно выбранных частиц покоящейся жидкости, поэтому в общем виде его можно записать как

т.е. для любых точек жидкости гидростатический напор одинаков. Следовательно, уровни в пьезометрах установятся на одной и той же высоте (плоскостьC–C на рис. 2.2). Уравнение (2.9) выражает так называемый гидростатический закон распределения давления.