7.2 Ламинарный погранслой

В начальной части П.С. течение является ламинарным, упорядоченным. Отдельные частицы жидкости движутся по плавным траекториям, не пересекаясь и не перемешиваясь друг с другом. Форма этих траекторий близка к форме обтекаемого тела.

В случае стационарного двумерного течения эти упрощённые уравнения Навье-Стокса, известные как уpавнения П.С., или уравнения Прандтля, представляют собой нелинейные днфференциальные ypавнения параболического типа и имеют вид:

уравнение сохранения количества движения

(1)

уравнение сохранения энергии

(2)

уравнение неразрывности

(3)

Здесь: х и y - координаты, направленные вдоль поверхности тела и по нормали к ней, u и v - составляющие скорости вдоль этих координат, - плотность, р - давление, - коэффициент динамической вязкости, Т - температура, - удельная теплоёмкость при постоянном давлении, - коэффициент теплопроводности.

Граничные условия к системе уравнений (1) - (3) имеют вид:

при y = 0 величины u = 0, v = , Т = ;

при y и y величина Т ;

Для решения уравнений П.С. используются различные методы, среди которых можно выделить две основные группы - численные (конечно-разностные) и интегральные.

Первая группа методов основана на численном интегрировании исходных уравнений П.С. методом сеток, или конечных разностей.

Вторая группа методов основана на использовании уравнений П.С. в интегральной форме. В этих уравнениях в качестве зависимых переменных выступают некоторые интегральные характеристики П.С.:

Толщина ламинарного погран слоя:

Где х- расстояние от передней кромки (от начала обтекания)

толщина вытеснения

(6)

толщина потери импульса

(7)

толщина потери энергии

(8)

(индексы "1" относятся к внешнему потоку, "01" - к границе П.С., "0" - к П.С., а "w" - к обтекаемой поверхности). Интегральные уравнения П.С. получаются из дифференциальных уравнений типа (1) - (5) интегрированием последних по поперечной координате от 0 до внешней границы П.С.

(10)

(9)

Где - напряжение трения на поверхности тела, а - тепловой поток через его поверхность. Интегральные уравнения позволяют учесть изменяющиеся условия течения вверх по потоку от рассматриваемой точки тела. Для решения интегральных уравнений П.С. (9) - (10) необходимо иметь сведения о профилях скорости и энтальпии (или температуры) внутри П.С.

7.3 Турбулентный погранслой

По мере увеличения расстояния вдоль поверхности тела местное число Рейнольдса возрастает и начинает проявляться неустойчивость ламинарного течения по отношению к малым возмущениям. Такими возмущениями могут служить пульсации скорости во внешнем набегающем потоке, шероховатость поверхности и другие факторы.

В результате ламинарная форма течения переходит в турбулентную, при этом на главное "осреднённое" движение жидкости или газа в продольном направлении накладываются хаотические пульсации движения в поперечном направлении, происходит интенсивное перемешивание жидкости, вследствие чего интенсивность переноса в поперечном направлении кол-ва движения, теплоты и массы резко увеличиваются.

Толщина турбулентного пограничного слоя:

Потеря устойчивости и переход к турбулентному режиму течения внутри П.С. происходят при некотором характерном числе Рейнольдса, которое называется критическим. Величина зависит от множества факторов - степени турбулентности набегающего потока, шероховатости поверхности,числа Маха М внешнего потока, относительной температуры поверхности, вдува или отсоса вещества через поверхность тела и других.

Переход ламинарного режима течения в турбулентный связан с потерей устойчивости, то сам этот процесс не является достаточно стабильным, вследствие чего имеет место областью перехода.

Изменение режима течения в П.С. сопровождается утолщением слоя и деформацией профилей скорости, температуры и концентраций. Одновременно возрастают коэффициент поверхностного трения, тепло- и массообмена, а также изменяется характер их распределения вдоль поверхности тела (рис. 4).

Рис. 4. Изменение режима течения в пограничном слое и поверхностного трения на плоской пластине

Течение внутри турбулентного П.С. носит пульсационный, хаотический характер: В этом случае при матемематическом описании течения каждый параметр можно представить в виде суммы осреднённого по времени, или среднего, значения и пульсационного. Например, , . Интеграл по времени от пульсац. составляющей любого параметра за достаточно большой интервал времени (строго говоря, при ) равен нулю

Прандтлем предожена гипотеза "пути перемешивания" l, позволяющая выразить коэффициент турбулентной вязкости через среднюю плотность и градиент средней скорости :

(11)

В общем случае турбулентный П.С. можно по высоте разделить на 3 области (рис. 5):

• пристеночный ламинарный подслой, где турбулентные пульсации затухают и решающую роль играют молекулярные вязкость и теплопроводность

• турбулентное ядро, в котором турбулентные вязкость и теплопроводность существенно превышают соответствующие молекулярные переносные свойства

• промежуточная переходная область.

Распределение скорости внутри турбулентного ядра описывается некоторым универсальным эмпирическим законом:

Где - так называемая скорость сдвига, или динамич. скорость, а - кинематическая вязкость.

При построении приближённых методов расчёта турбулентного П.С. широко используются также степенные профили скорости и температуры:

Где , и - соответствующие температуры торможения в П.С., на границе П.С. и стенки. Значения показателей степени для дозвуковых скоростей изменяются от 1/7 до 1/9 при увеличении числа Рейнольдса, и несущественно возрастают при больших числах Маха.

Экспериментальная формула коэффициента трения:

Где - коэф. поверхностного трения, - число Рейнольдса, - равновесная темп-pa стенки, r - коэффициент восстановления температуры, - число Маха внешнего потока, - отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме.

Из аналогии процессов тепломассообмена и трения позволяет для безразмерного коэффициента теплообмена на пластине - числа нусельта Nu - записать формулу, которая хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными данными:

( - коэф. теплоотдачи, - коэф. теплопроводности газа на стенке). Для переноса этой зависимости на случай П.С. на теле произвольной формы может быть использован предложенный метод "эффективной длины", предполагающий, что тепловой поток в рассматриваемой точке тела будет таким же, как в некоторой точке на пластине при одинаковых местных параметрах течения и при условии, что в рассматриваемых точках тела и пластины толщины потери энергии (8) также одинаковы.

Рис. 5. Внутреннее строение турбулентного пограничного слоя.

Течение в П.С. оказывает решающее влияние на явление отрыва потока от поверхности обтекаемого тела как во внешних (например, обтекание крыла), так и во внутренних (например, течение в диффузоре) течениях.