К онус второго порядка:
БИЛЕТ № 20.
Исследование функции с помощью производной.
1. Возрастание и убывание функции.
Теорема: 1) если функция f(x)
имеет производную на [a,b]
и возрастает на этом отрезке, то ее
производная не отрицательна, f/(x)
0.
2) если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
и дифференцируема на (a,b)
причем f/(x)>0,
то для любого х из a<x<b,
то функция f(x)
возрастает. Аналогично можно сделать
вывод о том, что если функция убывает
на [a,b] и ее
производная отрицательна, f/(x)<0
и если f/(x)<0,
то функция f(x)
убывает.
2. Точки экстремума. Функция f(x) имеет в точке Х1 max если ее значение в этой точке больше значения функции во всех точках интервала, содержащего точку Х1. Функция f(x) имеет в точке Х2 min если ее значение в этой точке меньше значения функции во всех точках интервала, содержащего точку Х2. Очевидно, что функция определенная на отрезке может иметь max и min только в точках находящихся внутри отрезка. Теорема(необ. усл. существования экстремума): если функция f(x) дифференцируема в точке Х и точка Х является точкой экстремума, то производная функции обращается в ноль в этой точке. Критическими точками функции называются точки f/(x) в которых не существует или равна нулю. Теорема (достаточное условие существования экстремума): пусть функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) который содержит критическую точку Х и дифференцируема во всех точках этого интервала. Если при переходе через точку Х слева направо f/(x) меняет знак с плюса на минус, то в точке Х функция имеет max, а если наоборот, то в точке Х функция имеет min. Следует отметить, что точки max и min функции с ее наибольшими и наименьшими значениями на отрезке понятия принципиально разные. Алгебраические нахождения наибольшего и наименьшего значений: 1) находят критические точки; 2) значение функции в критических точках; 3) значение функции на концах отрезка; 4) выбираем среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
3. Выпуклость и вогнутость кривой. Кривая выпуклая вверх на (a,b) если все ее точки лежат ниже любой ее касательной; кривая вогнута вниз если все ее точки лежат выше любой касательной на (a,b). Теорема: если во всех точках интервала (a,b) вторая производная отрицательна, то кривая y=f(x) выпуклая вверх, если во всех точках (a,b) вторая производная положительна, то кривая y=f(x) вогнута вниз. Точки, которые отделяют выпуклую часть от вогнутой называют точкой перегиба. Теорема: пусть кривая определяется уравнением y=f(x), если вторая производная в точке А=0 или не существует и при переходе через точку Х=А вторая производная меняет знак, то точка кривой с Х=А.
4. Асимптоты. Прямая называется асимптотой
кривой если расстояние от переменной
точки этой кривой до прямой при удалении
точек в бесконечность. Следует, что не
любая кривая имеет асимптоту. Прямые
асимптоты: вертикальные и горизонтальные.
Существуют частные случаи, когда кривая
неограниченно приближаясь к своей
асимптоте может и пересекать ее, причем
и не в одной точке. Наклонная асимптота:
;
.
Если k=0, то наклонной
асимптоты нет, но может существовать
горизонтальная асимптота y=b.
Схема исследования функции:
1) область существования функции.
2) четность и нечетность функции.
3) нули функции, промежутки знакопостоянства.
4) промежутки возрастания и убывания.
5) точки экстремума.
6) промежутки вогнутости и выпуклости.
7) точки перегиба.
8) асимптоты.
9) составляем таблицу.
10) построение графика.
БИЛЕТ № 21.
Уравнение прямой в пространстве.