Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

БИЛЕТ № 12.

Таблица основных дифференциалов и правила дифференцирования.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u  v) = u  v

2) (uv) = uv + uv

3) , если v  0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С = 0; 9)

2)(x^m) = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

БИЛЕТ № 13.

Гиперболоиды.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

13. - эллипсоид вращения

14. - однополостный гиперболоид вращения

15. - двуполостный гиперболоид вращения

16. - параболоид вращения

Однополостный гиперболоид: д вуполостный гиперболоид:

БИЛЕТ № 14.

Определение функции нескольких переменных.

Определение 1. Если каждой паре (х,у) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин х и у, из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины z, то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D. Символически функция двух переменных обозначается так: z = f(x,y), z = F(x,y).

Определение 2. Совокупность пар (х,у) значений х и у, при которых определяется функция z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой функции.

Пример. Определить естественную область определения функции z = 2x – y. Аналитическое выражение 2х – у имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху.

Определение 3. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x, y, z, …, u, t соответствует определенное значение переменной w, то будем называть w функцией независимых переменных x, y, z, …, u, t и писать w = F(x, y, z, …, u, t) или w = f(x, y, z, …, u, t). Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения трех, четырех и более переменных.

Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (x,y,z). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку M(x,y,z) в пространстве Оxyz. Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства. Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.

БИЛЕТ № 15.

Кривые 2 порядка. Эллипс. Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением . Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

F ₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: a² = b² + c².

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем: a² = b² + c² r₁ + r₂ = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. Е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r₁ = a – ex, r₂ = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r₁ + r₂ = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

; ;

Аналогично доказывается, что r₂ = a + ex. Теорема доказана. С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: 1)Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½ по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Итого: .

БИЛЕТ № 16.

Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

Обозначим приращения аргументов символами Δx₁ = x₁ − a₁, Δx₂ = x₂ − a₂,  …, Δx_n = x_n − a_n. Соответствующее приращение функции u=f(x) называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим приращению Δx = {Δx₁, Δx₂,  …, Δx_n}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

Приращение называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δx_k аргумента x_k.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется непрерывной в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) по переменной x_k , если

Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x₁, x₂,  … , x_n . Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D М Rⁿ и непрерывны в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) О D .

Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a. Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.

Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.

БИЛЕТ № 17.

Обратные матрицы.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E  , i=(1,n), j=(1,n),

e_ij = 0, i  j,

e_ij = 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

Таким образом, А^-1= .

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

Таким образом, А^-1= .

Cвойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц:

1. (A^-1)^-1 = A; 2) (AB)^-1 = B^-1A^-1 3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

БИЛЕТ № 18.

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n,

Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены.

Итого:

Второй замечательный предел.

Третий замечательный предел.

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

Пример. Найти предел.

домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: = .

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

x³ – 6x² + 11x – 6 x - 1

x³ – x² x² – 5x + 6

- 5x² + 11x

- 5x² + 5x

6x - 6

6x - 6 0

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

Пример. Найти предел.

БИЛЕТ № 19.

Конические поверхности.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.