28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.

f (x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:

2 . Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

О пределение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки M_i (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим P_n. Будем увеличивать число точек M_i на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра P_n, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек M_i определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а=х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. Длину хорды, соединяющей точки M_i и M_i+1 обозначим ∆l_i.Ее проекциями на оси координат будут ∆х_i ∆у_i. Очевидно,

П окажем, как нахождение предела периметра P_n сводится к вычислению интеграла. Представим ∆l_i в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

П оставив это выражение ∆у_i в формулу ∆l_i, полуим

Т аким образом (1),

Е сли составить интегральную сумму для функции

с полученными выше точками ξ_i, то придем к выражению (1), т.е.

к роме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆l_i влечет за собой стремление к нулю

п оэтому

(если этот предел существует).

Н о по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

П одставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:

29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х₀< x₁< x₂<…< x_n=b. На отрезке [x_i, x_i+1] строим прямоугольник высотой f(x_i). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(x_i) и высотой ∆ x_i. Его объем равен π[f(x_i)]² ∆ x_i. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x₀,x₁], [x₁,x₂],…[x_n-1,x_n]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем V_n.

Определение: Если существует предел V_n, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Д анная сумма является интегральной суммой для функции,

К оторая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

П лощадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то