18. Характеристики свободных колебаний.

Механические колебания и волны

Повторяющиеся движения или изменения состояния называ­ют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т. п.). Всем колебаниям, независи­мо от их природы, присущи некоторые общие закономер­ности. В зависимости от характера взаимодействия колеблю­щейся системы с окружающими телами различают колебания свободные, вынужденные и автоколебания. Колебания рас­пространяются в среде в виде волн. В данной главе рассмат­риваются механические колебания и волны.

. Свободные механические колебания (незатухающие и затухающие)

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первона­чально полученной телом энергии. Характерными моделями та­ких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерас­тяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первона­чальной потенциальной энергии (отклонение материальной точки от положения равновесия и движение без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (со­общение скорости телу, отклоненному от положения равновесия).

Рассмотрим пружинный маятник. В положении равновесия упругая сила F₁ уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х, то на мате­риальную точку будет действовать большая упругая сила. Изме­нение значения упругой силы (F), согласно закону Гука, пропор­ционально изменению длины пружины или смещению х точки:

F = -kx,

где k — коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием, который в данном случае является жесткостью пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону по­ложения равновесия: F < 0 при х > О, F > 0 при х < 0.

Другой пример. Математический маятник отклонен от положения равновесия на такой небольшой угол а, чтобы мож­но было считать траекторию движения материальной точки пря­мой линией, совпадающей с осью ОХ. При этом выполняется при­ближенное равенство:

а= sin tg а ~ у,

где х — смещение материальной точки относительно положения равновесия, I — длина нити маятника.

На материальную точку действуют сила натяжения нити F_u и сила тяжести mg, модуль их равнодействующей равен

= mg tg a = mgj = kx,

где k — коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием

Сравнивая видим, что в этом примере равнодейст­вующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смеще­нию материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, на­зывают квазиупругими.

На материальные точки, рассмотренные в этих примерах, кро­ме упругой и квазиупругой силы действует и сила сопротивления (трения), модуль которой обозначим F

При преобразовании дифференциального уравнения гармониче­ского колебания величина со₀ была введена формально,

однако она имеет важный физический смысл, так как определяет , „ ю_п

частоту колебании v = — системы и показывает, от каких факто-

2л

ров (параметров) эта частота зависит: от жесткости пружины и массы в одном примере, длины нити и ускорения свободного паде­ния в другом.

период колебаний пружинного ма­ятника

период колебаний математического маятника

Затухающие колебания. В реальном случае на колеблющее­ся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движе­ния изменяется, и колебание становится затухающим. Для того чтобы из уравнения найти временную зависимость затухаю­щего колебания, необходимо знать, от каких параметров и как за­висит сила сопротивления. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах эта сила пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно скорости: F_c = -rv, где г — коэффициент трения (сопротивления), характеризующий свойства среды оказывать сопротивление.

Применительно к одномерному движению последней формуле придадим следующий вид:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэф­фициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше Р и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практи­ке, однако, степень затухания часто характеризуют логарифми­ческим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным пери­оду колебаний При сильном затухании видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим.