§ 6. Закономерности распределения молекул по абсолютным значениям скорости в состоянии термодинамического равновесия

Н айдем теперь вид функции распределения молекул по абсолютным значениям скорости. То есть теперь нас не будет интересовать направление скорости молекул, следовательно, необходимо определить вероятность того, что конец вектора скорости в пространстве скоростей попадет в сферический слой толщиной dv вблизи сферы радиуса v (рис.).

Э

Рис. Пространство скоростей к определению функции распределения молекул по абсолютным значениям скорости + объем и обозначенные углы

та вероятность может быть определена как сумма вероятностей попадания конца вектора скорости молекулы в объем (рис.) по всем возможным значениям углов

. (25)

Однако, можно поступить проще, воспользовавшись сферической симметрией распределения молекул по абсолютным значениям скорости в состоянии термодинамического равновесия. Определим выражение для объема дифференциально тонкого сферического слоя в пространстве скоростей

. (26)

Тогда вероятность того, что молекула будет иметь значение скорости в интервале

. (27)

Итак, функция распределения молекул по абсолютным значениям скорости имеет вид

. (28)

Функция (28) носит название распределения Максвелла по скоростям. Площадь под графиком функции (рис.1.6.1) равна единице (функция нормирована на единицу). Физически это означает, что вероятность молекуле иметь скорость в интервале равна единице или, что доля молекул, имеющих скорость в указанном интервале равна единице.

В

Рис.1.6.1. График функции распределения молекул по абсолютным значениям скорости модулям. .

отличие от функций распределения молекул по проекциям скорости, функция распределения по модулям скорости несимметрична относительно максимума. Это различие становится понятным из следующих рассуждений. Функция распределения молекул по векторам скоростей характеризует число частиц, приходящихся на единичный объем в пространстве скоростей. Величина этого объема не зависит от его положения в пространстве скоростей, и распределение равномерно. В случае функции распределения молекул по абсолютным значениям скоростей (28) единичный объем есть объем сферического слоя и растет пропорционально квадрату скорости. Таким образом, вклад в поведение функции вносят два типа зависимости: экспоненциальная от квадрата скорости, определяющая вид функции (28), и изменение объема слоя (рис.??) в пространстве скоростей. При скоростях, близких к нулю, большее значение имеет первая тенденция, при больших значениях скоростей вид функции определяется второй тенденцией.

При получении выражений для функций распределения молекул по проекциям, векторам и абсолютным значениям скорости явно использовалось, что газ находится в состоянии термодинамического равновесия, которое является наиболее вероятным для изолированной системы. В этом состоянии движение молекул максимально хаотично и для него справедливо распределение Максвелла. Выше мы видели, что температура определяется средней кинетической энергией молекул, теперь понятно, что она определяется средней кинетической энергией хаотического движения. Скорость направленного движения газа может быть различной, а температура одной и той же. Таким образом, температура измеряется в системе отсчета, в которой газ, как целое, покоится.

Распределения были получены для закономерностей распределения по скоростям молекул идеального газа, однако распределения справедливы для систем многих невзаимодействующих частиц, в поведении которых не проявляются квантовые эффекты, если система находится в состоянии термодинамического равновесия.