1. Физические основы механики
Основные формулы Кинематика
Скорость и ускорение прямолинейного движения в общем случае определяются формулами
,
.
В случае прямолинейного равномерного движения
,
.
В случае прямолинейного равнопеременного движения
.
При криволинейном движении полное ускорение
,
где
–
тангенциальное (касательное ускорение),
–
нормальное (центростремительное)
ускорение.
,
,
где V – скорость движения, R – радиус кривизны траектории в данной точке.
При вращательном движении в общем случае угловая скорость и угловое ускорение находятся по формулам
,
,
где – угловое перемещение.
В случае равномерного вращательного движения угловая скорость
,
где T – период вращения, n – частота вращения.
Угловая скорость и линейная скорость V связаны соотношением
V=R.
Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде
R,
2R.
Динамика Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью V,
.
Второй закон Ньютона
,
где
– результирующая сила, действующая на
материальную точку.
Если масса тела m постоянна, то
,
где
– ускорение, которое приобретает тело
массой m под действием
силы
.
Закон сохранения импульса
,
если
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно
,
или
.
Потенциальная энергия:
а) упруго деформированной пружины
,
где k – жесткость пружины, х – абсолютная деформация.
б) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
,
где g
– ускорение свободного падения, h
– высота тела над уровнем, принятым за
нулевой (формула справедлива при условии
h
R,
где R
– радиус Земли).
Закон сохранения механической энергии
,
если система замкнута и в ней действуют только консервативные силы.
Момент M силы F относительно произвольной оси вращения
,
где
– кратчайшее расстояние от прямой,
вдоль которой действует сила, до оси
вращения.
Момент инерции материальной точки относительно произвольной оси вращения
где m – масса материальной точки, r – ее расстояние от оси вращения.
Момент инерции некоторых тел массой m относительно оси Z, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной
относительно оси, перпендикулярной
стержню,
;
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
где R – радиус обруча (цилиндра);
в) диска (однородного сплошного цилиндра) радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
.
Основной закон динамики вращательного движения
где
– проекция момента импульса на ось Z,
– проекция момента сил, приложенных к
телу, на ось Z.
Если момент инерции J = const, то
где – угловое ускорение, приобретенное телом под действием момента сил M.
Кинетическая энергия вращающегося тела
,
где J – момент инерции тела; – его угловая скорость.
Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси Z,
,
если результирующий момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.
1.2. Примеры решения задач.
Пример 1.
Две гири массами
=
0,3 кг и
=
0,2 кг связаны невесомой нерастяжимой
нитью, перекинутой через блок массой m
= 0,3 кг. Блок считать однородным диском.
Трением пренебречь. Определить ускорение,
с которым движутся гири.
Дано:
=
0,2 кг m = 0,3 кг a = ?
= 0,3 кг
Решение.
Система состоит из трех тел: гирь
и
,
движущихся поступательно, и блока m,
вращающегося относительно неподвижной
оси, проходящей через центр инерции
блока. Гиря
находится под действием двух сил: силы
тяжести
и силы натяжения нити
.
Гиря
также находится под действием двух сил:
силы тяжести
и силы натяжения нити
.
Запишем 2-й закон Ньютона для гирь:
, (1)
. (2)
Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, момент силы тяжести блока и момент силы реакции оси равны нулю. Если предположить, что нить не скользит относительно блока, то вращают блок только силы натяжения нити.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для блока:
, (3)
где:
– угловое ускорение,
– момент инерции блока,
и
– моменты сил
и
.
Если нить невесома, то силы натяжения вдоль нити с каждой стороны блока одинаковы по модулю, то есть:
,
.
Ускорения обеих гирь считаем равными по модулю на основании нерастяжимости нити. Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке и ускорению гирь:
.
Для перехода к скалярным соотношениям для описания движения гирь введем ось Y. Теперь векторные уравнения (1) и (2) можно заменить скалярными:
(4)
Моменты сил
и
направлены по оси вращения, но в
противоположные стороны. Примем
направление вектора
за положительное. Тогда момент силы
относительно оси вращения будет
положительным, а момент силы
– отрицательным. Векторное уравнение
(3) можно переписать в виде:
,
или
,
где: r – радиус блока.
Учитывая, что момент инерции однородного
диска
и связь линейного и углового ускорений
,
получаем:
,
. (5)
Из уравнений (4) выразим силы натяжения нитей:
,
.
Подставим в (5), получим:
,
,
.
Проверим размерность:
.
Вычисления:
.
Ответ:
.
Пример 2.
По рельсам свободно движется платформа
с установленным на ней орудием. Скорость
платформы
=
10 м/с. Из орудия производят выстрел вдоль
рельс, в направлении движения. Скорость
снаряда относительно платформы
=
400 м/с. Каково должно быть соотношение
между массой M платформы вместе с орудием
и массой снаряда m, чтобы скорость
платформы уменьшилась в 10 раз?
Дано:
=
10 м/с
=
400 м/с 
Скорость платформы меняется вследствие взаимодействия снаряда и платформы. Выясним, является ли эта система изолированной. На тела рассматриваемой системы действуют три внешние силы: сила тяжести, сила реакции опоры и силы трения. Первые две силы в сумме дают ноль. Так как силы взаимодействия, возникающие при выстреле, очень велики, то по сравнению с ними силой трения можно пренебречь. Следовательно, система снаряд – платформа является изолированной системой (в первом приближении).
Решение задачи проведем в системе координат, связанной с Землей. До выстрела импульс системы:
,
после выстрела:
,
где:
–
скорость снаряда относительно Земли
после выстрела,
–
скорость платформы после выстрела.
По закону сохранения импульса:
.
Учтем, что
и
запишем в скалярной форме:
,
.
Размерность:
.
Ответ: M/m = 44.
Пример 3.
Два шара массами
=
2,5 кг и
=
1,5 кг движутся друг другу навстречу со
скоростями
=
6 м/с и
=
2 м/с. Найти: 1) скорости шаров после удара,
2) кинетические энергии шаров до и после
удара, 3) энергию, затраченную на деформацию
шаров при ударе. Удар считать прямым,
неупругим, трением
пренебречь.
Дано:
=
2,5 кг,
=
1,5 кг
=
6 м/с,
=
2 м/с u = ?, 
=
?,
=
?,
=
?
Н
еупругие
шары не восстанавливают после удара
свою первоначальную форму. Следовательно,
не возникают силы, способные оттолкнуть
шары друг от друга.
Поэтому шары после удара движутся совместно с одинаковой скоростью
.
Определим эту скорость по закону
сохранения импульса. Ось Х направим по
вектору
.
В проекциях на ось Х закон сохранения
импульса примет вид:
,
.
Проверка размерности:
,
.
Кинетическая энергия шаров до и после удара:
,
.
.
,
.
Энергия деформации равна разности энергий шаров до и после удара (по закону сохранения и превращения энергии):
.
Ответ: u = 3 м/с,
=
48 Дж,
=
18 Дж,
=
30 Дж.
Пример 4.
Человек стоит в центре скамьи Жуковского
(рис.3) и вместе с ней вращается по инерции
с частотой
=
0,5 об/с. Момент инерции человека и скамейки
относительно оси вращения
=
6 кг∙м2. В вытянутых в сторону
руках человек держит две гири массой m
= 2 кг каждая. Расстояние между гирями
=
1,6 м. Сколько оборотов в секунду будет
делать скамейка с человеком, если он
опустит руки и расстояние между гирями
станет равным
=
0,4 м?
Дано:
=
0,5 об/с
=
6 кг∙м2 m = 2 кг
=
1,6 м
=
0,4 м
=
?
Решение.
Поскольку в данной системе трением пренебрегаем, а моменты внешних сил тяжести и реакции опоры будем считать уравновешенными, для системы человек – скамья – гири будет выполняться закон сохранения момента импульса:
или в скалярной
форме (
и
совпадают по направлению):
, (1)
где: I – момент инерции человека и скамейки,
–
момент инерции гирь в 1-м положении,
–
угловая скорость системы в 1-м положении,
–
момент инерции во 2-м положении,
–
угловая скорость системы во 2-м положении.
Выразим угловую скорость ω через частоту ν:
,
.
Момент инерции
гири определяется по формуле момента
инерции материальной точки:
.
Гирь в нашем случае две,
,
поэтому:
,
.
Подставляя выражения для , , и в равенство (1), получим:
.
Отсюда определим:
.
Проверка размерности:
.
Ответ:
=
0,7 об/с.
П
ример
5. Мальчик катит обруч по горизонтальной
дороге со скоростью v = 2 м/с. На какое
расстояние может вкатиться обруч на
горку за счет его кинетической энергии?
Уклон горки 10 м на каждые 100 м пути.
Дано: v = 2 м/с H = 10 м L = 100 м s = ?
Решение.
У подножия горки обруч обладает запасом кинетической энергии:
,
где:
–
кинетическая энергия поступательного
движения обруча,
–
кинетическая энергия вращательного
движения.
Вкатившись на горку на максимально
возможное расстояние (высота горки в
этом месте h), обруч приобретет запас
потенциальной энергии
,
кинетическая энергия в этом положении
равна нулю.
Пренебрегая трением, воспользуемся законом сохранения энергии:
,
.
Учтем, что момент инерции обруча
относительно оси, проходящей через
центр инерции:
,
где: m – масса обруча, R – радиус обруча.
Угловая скорость обруча ω связана с
линейной скоростью
точек, лежащих на поверхности обруча:
.
Поскольку за один полный оборот точка,
лежащая на поверхности обруча, проходит
путь
и центр масс смещается тоже на расстояние
,
то
.
Таким образом:
.
Тогда:
,
,
.
Так как
(рис.4), то:
.
Проверка размерности:
.
Ответ: s = 4,1 м.
Пример 6. С наклонной плоскости с углом наклона скатываются без скольжения шар, диск и обруч. Одновременно по той же плоскости соскальзывает без трения некоторое тело. Найти линейные ускорения центров тяжести всех тел. Начальные скорости равны нулю.
Дано: – угол наклона шар , момент инерции Jш = 2/5·mR2 диск, момент инерции Jд = 1/2·mR2 обручь, момент инерции Jo = mR2 |
Найти: линейные ускорения аш, ад, ао |
Решение.
Если тело совершает поступательное и и вращательное движения одновременно, то его кинетическая энергия
,
где m – масса тела, v – линейная скорость центра тяжести тела, J – момент инерции; - угловая скорость вращения.
Вначале движения тело имело потенциальную энергию
.
В конце движения потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию
.
Отсюда
.
Так как высота наклонной плоскости h = lsin и = v/R, то
.
Все тела движутся равноускоренно вниз по плоскости, так что
.
Учитывая эти формулы, получаем
.
Подставляя значения моментов инерции в выражения для а, находим
для шара
для диска
для обруча
.
Для соскальживающего тела J = 0, следовательно,
.