5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.

Определение 5.

Если ,  ,  взаимно ортогональны, то основная система координат называется ортогональной.

Определение 6.

Если основная система координат ортогональна при любых значениях ,  ,  из области  , то криволинейные координаты ,  ,  называются ортогональными.

Справедливо следующее утверждение.

Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых ,  ,  из области  выполняются условия

, , . (9)

Утверждение очевидно.

Следует отметить, что условия (9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат ,  ,  из области  . Иначе говоря, равенства (9) должны быть справедливы в любом положении точки . Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.

Но данное требование равносильно тому, что соотношения (9) должны выполняться в любой точке , имеющей координаты  .

Поэтому при вычислении векторов и по формулам (5) можно заменить в (5) координаты ,  ,  точки на координаты ,  ,  точки  .

Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении аргументов  ,  ,  при вычислении производных от вектор-функции  в формулах (6) и требовать от равенств (9), чтобы они выполнялись при любых значениях .

С учетом сказанного условия (9) в скалярной форме примут вид:

, , , при .

К ним следует присоединить условие (2) некомпланарности векторов ,  ,  :

,

причем:

• если тройка векторов ,  ,  правая, то

, , ,

• если тройка векторов ,  ,  левая, то

, , .

6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.

Определение 7.

Дифференциал вектор-функции , вычисленный в точке  , называется линейным перемещением точки из положения .

Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате , а дифференциал — линейным перемещением точки по контравариантной координате .

Согласно определению дифференциала вектор-функции , имеем

= . (10)

Здесь — линейное перемещение точки по координате .

Вектор имеет своим началом точку . Его контравариантные координаты обозначаем через , так что можем записать

= + + , (11)

где = .

С другой стороны, учтем связь (6) вектор-функции с контравариантными координатами ,  .

= + ,

Здесь векторы и ,  , не зависят от ,  ,  . Тогда, согласно определению дифференциала функции , рассматриваемой как векторная функция переменных ,  ,  и задаваемой этой формулой, можем записать:

= . (12)

В (12) обозначают дифференциалы координат  . Сопоставляя (11) и (12), видим, что величины  , являющиеся коэффициентами при  в (11), должны совпадать с коэффициентами при  в формуле (12). Иначе говоря, дифференциалы в (12) являются координатами вектора в основной системе:

= , .

Вернемся к соотношению (10). Преобразуем его правую часть, учитывая, что из (5) можем записать равенства

, .

Подставляя их в правую часть (10), придем к следующему представлению линейного перемещения :

= .

Сопоставляя его с (12), получаем

= , .

Здесь коэффициенты Ламе вычисляются в точке  . Таким образом, установили связь линейных перемещений по контравариантной координате  с линейными перемещениями по криволинейной координате  . Такая связь формулируется следующим образом.

Дифференциал контравариантной координаты равен произведению коэффициента Ламе, вычисленного в точке  , на дифференциал криволинейной координаты .

При естественном способе задания движения точки ее траектория часто задается с использованием криволинейных координат. Параметрическое задание траектории в таком случае имеет вид

= , = , = , ,

где , , — дважды непрерывно дифференцируемые функции на промежутке  .

Для того чтобы перейти к естественному способу задания движения, требуется построить естественную параметризацию траектории. Для этого, как показано в §2, необходимо определить связь длины дуги с параметром  , являющимся внутренней переменной заданной траектории. Искомая связь будет установлена, если укажем зависимость дифференциала  длины дуги от дифференциала  внутренней переменной.

С целью решения поставленной задачи построим параметризацию  траектории, заданной параметрически функциями , , . Параметризацию  получим, если подставим в (1) вместо криволинейных координат  ,  ,  координатные функции , , , соответственно. В результате придем к следующему векторному соотношению

= = , (13)

которое при каждом значении задает положение в пространстве точки  , имеющей криволинейные координаты  ,  ,  на заданной траектории. А тогда можем записать

,

где — линейное перемещение точки  по кривой .

Из (13) находим

,

и, следовательно,

. (14)

Здесь — метрические коэффициенты основной системы координат, а и — коэффициенты Ламе. Все коэффициенты вычисляются в произвольном положении точки  на заданной кривой.

Если не фиксировать траекторию точки  (считать ее произвольной), то, учитывая, что линейное перемещение связано с линейными перемещениями криволинейных координат ,  ,  соотношением = , получим следующее выражение для дифференциала дуги на любой траектории:

.

В нем следует положить

, ,

в том случае, когда траектория фиксирована и определяется криволинейными координатами ,  ,  . В результате такой замены придем к соотношению (14).