1. Снопков Е. 1-7

2. Василевский Д. 9-13

3. Костин Л. 14-18

4. Паферова Т. 19-23

5. Котова Е. 24-28

6. Зайцева Л. 29-34

7. Сорокина Е. 35-39

8. Лакей Е. 40-44

9.Черкасова Г. 45-50

9.Числовые характеристики случайных величин. Указать числовые характеристики определяющие положение случайной величины

Числовые характеристики случайной величины делятся на следующие группы:

1) определяющие положение случайной величины;

2)определяющие рассеивание случайной величины;

3)связанные с симметрией и степенью заострения кривой распределения случайной величины.

положение случайной величины: : среднее значение(математическое ожидание), мода и медиана. Математическое ожидание является центром, около которого группируются в той или другой степени возможные значения данной случайной величины.

Модой М случайной величины X называют ее численное значение, которому соответствует самая большая вероятность для дискретных случайных величин и максимум плотности распределения f(x) — для непрерывных

Если плотность распределения f(x) имеет только одну моду (один максимум), распределение называют одномодальным. В дальнейшем будем рассматривать только одномодальные распределения.

Медианой называют численное значение x_1/2 случайной величины, для которого выполнено условие Р(Х< x_1/2)= Р(Х> x_1/2){2.13}

Для непрерывных случайных величин медиана = абсциссе точки, ордината которой делит площадь под кривой распред. на две равные части.

Если для дискретных случайных величин нельзя найти численное значение, которое удовлетворяет условию (2.13), то определяют такие соседние значения х_k, и x_k+1, для которых выполняются неравенства

Р1(Х<x(k))<0,5 и Р2(Х>x(k+1))<0,5

Тогда медианой будет Р=(Р1+Р2)/2

Если распределение симметрично относительно m₁[X], то медиана и математическое ожидание совпадают. Если при этом распределение одномодальное и x_1/2, совпадает с М и m₁[X] то мы имеем дело с широко используемым в теории и практике нормальным распределением.

10. Числовые характеристики случайных величин Указать числовые характеристики определяющие рассеивание случайной величины

Числовые характеристики случайной величины делятся на следующие группы:

1) Определяющие положение случайной величины;

2)Определяющие рассеивание случайной величины;

3)Связанные с симметрией и степенью заострения кривой распределения случайной величины.

Ко второй группе числовых характеристик случайной величины относятся: размах, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации. Реже используется так называемое среднее арифметическое отклонение.

Размах R равен разности между самым большим и самым малым значениями X R[X]=Xmax-Xmin

Дисперсия σ²[X] данной случайной величины равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

σ²[X]=m1[(X-m1[X])^2]

где m1- первый начальный момент

Дисперсия является основной характеристикой рассеивания

относительно математического ожидания

Для дискретных случайных величин

Так как дисперсия представляет собой сумму положительных слагаемых, которые являются квадратами отклонений случайной величины от математического ожидания, то малая дисперсия будет показывать, что эти слагаемые.(отклонения) малы и, следовательно, мало рассеивание. Наоборот, большая дисперсия показывает, что по крайней мере одно из отклонений велико и, следовательно, рассеивание большое. Это показывает, что, действительно, дисперсия может служить мерой степени рассеивания. Однако при использовании дисперсии имеется одно неудобство — ее размерность равна квадрату размерности изучаемой случайной величины, поэтому более удобной характеристикой рассеивания считается так называемое среднее квадратичное отклонение σ[X], которое определяют по формуле

коэффициент вариации V [X], который определяют по формуле (в %)

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеивания. Характеристики рассеивания σ[X] и V [X] являются основными критериями для оценки качества и надежности работы различных технических устройств.

11.Числовые характеристики случайных величин Указать числовые характеристики связанные с симметрией и степенью заострения кривой распределения случайной величины.

Числовые характеристики случайной величины делятся на следующие группы:

1) Определяющие положение случайной величины;

2)Определяющие рассеивание случайной величины;

3)Связанные с симметрией и степенью заострения кривой распределения случайной величины.

К третьей группе числовых характеристик относятся асимметрия и эксцесс. Значения некоторой случайной величины X могут быть распределены симметрично или асимметрично относительно мат. ожидания m₁ [X]. Степень асимметрии (несимметрии) данного распределения характеризуют коэффициентом асимметрии γ₁[X], который вычисляют как отношение третьего центрального момента μ₃ [X] к σ[X], возведенному в третью степень

γ₁[X]= μ₃ [X]/ (σ[X])^3,

При γ₁ > 0 говорим о положительной (левой) асимметрии, а при γ₁ < О — об отрицательной (правой) асимметрии.

Эксцесс γ₂ [X] данного распределения характеризует степень его заостренности и вычисляется по формуле:

Y2[X]= (μ₄ [X]/ (σ[X])^4) - 3,

Основой для определения степени заостренности данного распределения является нормальное распределение при одной и той же дисперсии обоих распределений, При нормальном распределении. отношение четвертого центрального момента к σ⁴ [X] равно трем. Таким образом, эксцесс нормального распределения равен нулю.