20. Теореми про функції,неперервні на замкненій множині.

Теорема. Якщо ф-ія неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема. Якщо ф-ії f(x;y) та g(x;y) неперервні в точці (x₀;y₀), то в цій точці будуть неперервними f(x;y)g(x;y), f(x;y)g(x;y), f(x;y)/g(x;y) при g(x₀;y₀)0

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій множині, то вона обмежена на цій площині.

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші.

Теорема. (про нуль неперервної ф-ії): Нехай ф-ія неперервна на зв’язній множині D і приймає у двох точках А і В цієї множини значення різних знаків. тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній ф-ія обертається в нуль.

Теорема. (про проміжне значення): Нехай ф-ія f(x;y) неперервна на зв'язаній множині D і у двох будь-яких точках А та В цієї множини вона приймає будь-яке значення , яке лежить між f(A) і (B), тобто існує така точка cD, що f(c)=.

21. Точки розриву та їх класифікація.

Означення. Функція називається розривною в точці якщо порушується хоча б одна з умов рівності

Розрізняють точки розриву 1-го і 2-го роду. Розриви 1-го роду бувають усувні й неусувні; розриви 2-го роду — завжди неусувні.

Означення. Точка називається точкою розриву 2-го роду для функції , якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва чи справа).

Означення. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив неусувний) для функції , якщо односторонні границі (зліва і справа) функції у цій точці існують, але не рівні між собою, тобто

22. Похідна, її фізичний, геометричний, економічний зміст.

Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції.

Похідною функції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної f'(x₀) функції f у точці x₀ дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої y = f(x) у точці з абсцисою x₀.

Рівняння дотичної до кривої y = f(x) у точці M(x₀,y₀) має вигляд:

y=f́(x)=tga

Фізичний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох

Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у даний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М₀, а в момент часу точка опинилася

на відстані від початкової точки й зайняла положення М₁. Отже, час t набув приросту , а шлях х — приросту . Середня швидкість руху точки М за час описується формулою .

Якщо точка М рухається рівномірно, то V_cр є величина стала, і її беруть за швидкість точки. Для нерівномірного руху точки очевидно, що для достатньо близьких значень до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t беруть величину

,

яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає механічний зміст похідної. Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент t₀.

Економічний зміст

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція u=u(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t₀.

За період часу від t₀ до кількість виробленої продукції зміниться від значення до значення ; тоді середня продуктивність праці за цей період часу . Очевидно, що продуктивність праці в момент t₀ можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t₀ до при , тобто

.

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.