
- •1.Визначники другого та третього порядку,їх властивості.
- •6. Розвязування системи матричним методом
- •7. Ранг матриці та способи його обчислення
- •16. Границя функції,границя послідовності.
- •17. Правила граничного преходу
- •20. Теореми про функції,неперервні на замкненій множині.
- •23. Логарифмічна похідна
- •24.Правило Лопіталя.
- •27 .Частинна похідна.
16. Границя функції,границя послідовності.
Число а
називається границею
послідовності
,
якщо
для будь-якого
,
яке б мале воно не було, існує номер N
такий, що для всіх номерів
виконується нерівність
.
Позначення
або
.
Для стислого запису означення границі використаємо квантори: — для будь-якого, будь-який; — існує, знайдеться; : = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:
Число b
називається
границею
функції
при
,
якщо для будь-якого
існує число
,
таке що при
виконується нерівність
Коротко це означення можна записати так:
17. Правила граничного преходу
Для того щоб знайти границю елементарної функції, коли аргумент прямує до значення, що належить області визначення функції, треба замість аргумента в вираз підставити граничне значення аргументу. Це правило називається правилом граничного переходу.
Запам’ятайте деякі важливі границі:
- Границя частки одиниці і х дорівнює нулю, якщо х прямує до нескінченності.
- Границя частки синуса х і х дорівнює одиниці, якщо х пярмує до нуля.
Границі функції застосовують для знаходження асимптот графіка функції:
Пряма х = А є вертикальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює нескінченності при аргументі, що прямує до А.
Пряма у = В є горизонтальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює числу В при аргументі, що прямує до нескінченності.
Пряма y = kx + b є похилою асимптотою, якщо границя відношення функції до її аргументу дорівнює числу k при аргументі, що прямує до нескінченності і якщо границя різниці функції і kx дорівнює числу b при аргументі, що прямує до нескінченності.
Функція називається неперервною в деякій точці, якщо ця функція визначена в якому-небудь околі даної точки, і якщо границя приросту функції дорівнює нулю, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Сума скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.
Різниця скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.
Добуток скінченного числа функцій, неперервних в деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.
Відношення двох функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці, якщо дільник не дорівнює нулю.
18. Перша визначна границя. .Друга визначна границя
Перша
особлива границя
Границі — наслідки першої особливості границі:
1.
2.
3.
4.
Зауваження.
За допомогою першої особливої границі
можна досліджувати невизначеності
для виразів з тригонометричними
функціями.
Для того
щоб скористатися першою особливою
границею, потрібно виконати таку заміну
змінної х,
щоб нова змінна прямувала до нуля,
наприклад
.Друга визначна границя.
Друга
особлива границя
Границі — наслідки другої особливої границі:
1.
. 2.
.
3.
.
4.
.
Зауваження: За допомогою другої особливої границі та її наслідків можна досліджувати невизначеності
.
19. Неперервність функції. Дії над неперервними функціями.
Функція
називається неперервною
в точці
якщо
Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності функції в точці можна зобразити так:
Звідси випливає, що для неперервності функції в точці мають виконуватися такі умови:
а) точка
х
= х0
належить області визначення функції
тобто
існує;
б) деякий
окіл точки х
= х0
входить до області визначення функції,
наприклад
в) границя
при
дорівнює значенню функції в точці х
= х0,
тобто дорівнює
.
Позначимо
через
приріст аргументу, а через
— приріст функції (рис. 3.15).