
- •Матрицы
- •А лгебра матриц
- •Вычисление обратной матрицы
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Аналитическая геометрия
- •5 Видов уравнения на плоскости прямой.
- •Второй замечательный предел
- •Предел функции непрерывного аргумента
- •Первый замечательный предел
- •Непрерывность
- •Теорема о достаточном условии выпуклости функции
- •Теорема о необходимых условиях перегиба Теорема о достаточном условии точек перегиба
Линейная алгебра.
Определители (детерминант)
Назовем определителем число, записанное в виде квадратной таблицы чисел.
Ч
исло
элементов в строке (колонке) называют
порядком определителя.
Для определителя справедливы 2 правила:
Это правило эквивалентных преобразований.
Правило раскрытия по строке (колонке).
Правило эквивалентных преобразований:
Если в определителе какую-то строку умножить на число не равное нулю (столбец) прибавить к другой строке (столбцу), то мы получим определитель эквивалентный данному.
П ример:
Правило раскрытия по строке:
Каждый определитель порядка n может быть представлен в виде суммы произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
А
лгебраическим
дополнением Aij
к элементу aij
назовем
произведение (-1)i+jMij,
где M-
минор.
Минором, построенным по элементу aij , называется определитель порядка (n-1), полученный из исходного путем вычеркивания i строки и j столбца.
П
ример:
M
11=|1|
Если в каком-то определителе есть строка (колонка), состоящая из нулей, то определитель равен нулю.
Определитель 2-го порядка равен разности произведений к элементу главной диагонали (СЗ, ЮВ) и элементов побочной диагонали (СВ, ЮЗ)
П
римеры:
Матрицы
Матрицой называют прямоугольную таблицу чисел.
А лгебра матриц
Сложение:
Умножение:
Правило согласованности размерности матриц при умножении:
Количество столбцов 1-го сомножителя равняется количеству строк 2-го.
Чтобы получить элемент произведения двух матриц ij мы должны умножить i строчку 1-го сомножителя на j столбец 2-го и результаты сложить.
П
ример:
Е - единичная матрица
Э
то
квадратная матрица, у которой по главной
диагонали стоят единицы, а остальные
нули.
1
1=1+1+1=3
12=3
21=0
22=0
Для всякой квадратной матрицы можно посчитать определитель.
Е
сли
главный определитель квадратной матрицы
ноль, то матрица называется выражденной.
Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.
Вычисление обратной матрицы
Доказательство:
A 11=(-1)1+1*3=3
A12=-2
A21=-1
A22=1
Ранг матрицы
Р анг (rang) А- размерность наибольшего отличного от нуля определителя, содержащегося в матрице А.
Min (m,n)- максимально возможный порядок определителя.
П ример:
Системы линейных уравнений
Это система, у которой m уравнений и n неизвестных
О
бщий
вид
системы линейных уравнений
Матричная запись системы (10)
Д опущения:
А- квадратная, невырожденная
А-1Ax=A-1B x=A-1B (11) (решение системы 10)
Если количество неизвестных больше числа уравнений, то последнее (лишнее неизвестное) переходит в разряд параметров и переносится в правую часть.
Если основная матрица вырожденная, то отбрасывается последнее уравнение до тех пор, пока она не станет невырожденной.
Теорема Кронекера- Капелли:
С
истема
(10)
имеет решения тогда и только тогда,
когда ранг основной матрицы системы
совпадает с рангом расширенной матрицы
(rang
A=
rang
A),
если при этом эти ранги совпадают с
числом неизвестных n,
то решение единственно. Если меньше n,
то решений бесконечно много.
Векторная алгебра
Y
a2
a
0
a1
X
Умножение вектора на число:
С
ложение
и вычитание:
Умножение векторов:
а) Скалярное произведение:
к оммутативно
б) Векторное произведение (3-х мерное):
i
,j,k-
орты осей координат
С войство антикоммутативности
Геометрический определитель второго порядка равен длине векторного произведения векторов, составленных из строк данного определителя.
Геометрическое смешенное произведение:
О
но
равно объему параллелепипеда, построенного
на исходных векторах.