4 . Метод контурных токов

Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в со­четании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток I_k, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их ал­геб­раические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определе­нию, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неиз­вестных состав­ляет m(n1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 17. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в кон­турах-ячейках схемы(Iк₁, Iк₂, Iк₃ ). Контуры-ячейки следует выби­рать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с ис­точни­ками тока J образуют свои кон­туры с заданными токами (J₁, J₂).

2) Составляются m(n1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для вы­бранных конту­ровячеек с контурными токами Iк₁, Iк₂, Iк₃. В уравнениях учиты­ваются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

Рис. 17

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

Здесь введены следующие обозначения:

R₁₁= R₁+R₄+R₅; R₂₂ = R₂+R₄+R₆; R₃₃ = R₂+R₅+R₆ и т. д. – собственные сопро­тивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R₁₂ = R₂₁ = R₄ ; R₁₃ = R₃₁ = R₅ ; R₂₃ = R₃₂ = R₆ и т. д. – взаимные сопро­тивления между двумя смежными контурами, они положительны – если кон­турные токи в ветви совпадают, и отрицательны – если контурные токи в ветви направлены встречно, и всегда отрицательны – если все контур­ные токи ориен­тированы оди­наково (например, по часовой стрелке), равны нулю – если кон­туры не имеют общей ветви.

E₁₁ = E₁ + J₁R₄, E₂₂ = E₂+ J₂R₂, E₃₃ =  E₃ +J₃R₃ и т. д. – контурные ЭДС, равные алгебраиче­ской сумме слагаемых E_nn = E + JR от всех источников контура.

Система контурных уравнений в матричной форме:

или сокращенно ,

где  матрица контурных сопротивлений,  матрица контурных то­ков,  мат­рица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для решения систем линейных алгебраических уравнений. В MathCAD для этой цели могут быть применены следующие программы: 1) Ik = lsolve(Rk,Ek), 2)Ik = Rk^-1∙Ek. В результате решения системы уравнений опреде­ляются неизвестные контурные токи Iк₁, Iк₂, Iк₃.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 17) (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆). Токи ветвей определяются по принципу нало­же­ния как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви:

I₁ = I_к1; I₂ = I_к2 – J₂; I₃ = –I_к3 – J₃; I₄ = I_к1 + I_к2; I₅ = I_к1 I_к3; I₆ = I_к2  I_k3 .

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (PE_k = E_kI_k, PJ_k = U_k J_k) и мощности приемни­ков энергии (P_k = I_k² R_k).

Примечание: пример расчета сложной электрической цепи методом кон­турных токов см. в Л.17 (задача 2б).