Задачи для самостоятельной работы
1. Построить поле направлений для дифференциальных уравнений:
а)
б)
(построить
изоклины1
).
Провести интегральные кривые через
точки (0,0), (0,1), (1,0).
в)
;
г)
;
д)
.
Найти уравнение движения точки, падающей с высоты h без начальной скорости.
Найти уравнение движения точки, брошенной вверх со скоростью v. Через сколько времени точка достигнет наивысшего положения?
Найти дифференциальное уравнение софокусных эллипсов с заданным фокусным расстоянием 2с.
Указание.
Уравнение семейства
,
где a
- произвольный параметр, дифференцируем
по х, после
сокращений имеем:
.
Исключив из этих двух уравнений а2,
получим искомое уравнение первого
порядка.
Ответ:
.
6*. Найти уравнение всех кругов на плоскости.
Указание.
Дифференцируя
трижды уравнение окружности
и исключая параметры
a,
b,
r,
получим
искомое уравнение.
Ответ.
.
7*. Найти дифференциальное уравнение всех конических сечений.
Указание. Уравнение конических сечений имеет вид:
.
Ответ.
.
8*. Вывести
дифференциальное уравнение конических
сечений, у которых а22
= 0. Каково геометрическое семейство
этих кривых? (Рассмотреть два случая
).
Ответ.
.
Если
кривые гиперболы с вертикальной
асимптотой,
- параболы.
9. Доказать
невыполнимость теоремы 1.1 для уравнения
.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение
,
(6)
где h(y) отлична от нуля всюду на области В, g(x) - определена и непрерывна в В называется уравнением с разделяющимися переменными. Деля обе части на h(y) и умножая на dx, получим равенство двух дифференциалов
.
(7)
Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым,
.
(8)
Уравнение, записанное в виде
,
(9)
допускающие выбор в качестве неизвестной функции как у, так и х, решается методом разделения переменных. Общий интеграл уравнения (9) имеет вид
.
(10)
Пример 1. Решить уравнение
.
Интегрируем его для у 3
.
Его решение представляет собой функцию
.
Прямая у = 3 - частное решение. С учетом проведенных рассуждений общее решение можно переписать в виде
.
Если в уравнении
(6) g(х)
разрывна в некоторой точке х
=
и обращается
в бесконечность именно в этой точке, а
во всех других точках заданной области
непрерывна, то решение (8) соответствует
общему решению в каждой точке множества
.
В точках (,
у)
решение определяется из перевернутого
уравнения
и присоединяется к решению уравнения (6).
Это решение может оказаться особым, если в каждой его точке нарушается единственность или если единственность сохраняется во всех точках этого решения, то оно является частным.
Пример 2.
Уравнение
при
правая часть определена и непрерывна,
поэтому формула
дает общее решение.
Прямые
является решением перевернутого
уравнения
,
причем частным решением и асимптотами общего решения исходного уравнения.