1.8. Многочлены от операторов и матриц.

Поскольку как операторы, так и матрицы (квадратные), можно умножать (для операторов роль умножения играет закон композиции) и складывать, а также умножать на скаляры – элементы поля, то можно рассматривать операторные и матричные многочлены (и даже ряды!). Соответственно, возникают и операторные уравнения. Например, можно снова поставить вопрос (но уже не в матричной, а в операторной форме о решении в операторах уравнения А²=-Е, скажем на плоскости. -Е – это гомотетия с коэффициентом -1. Какое из линейных преобразований плоскости приходит сразу на ум, которое, будучи применённым дважды, производит эффект умножения на -1? Найдя его, посмотрите, чему равна его матрица в стандартном базисе t₁=(1,0); t₂=(0,1).

Def. Элемент а кольца А называется нильпотентным, если в некоторой степени он становится равным нулю. Точнее, если nN, такое, что aⁿ=0.

Упражнение 68. Докажите, что оператор А, матрица которого в базисе e₁, e₂,...,e_n выглядит так: А= нильпотентен. Вычислите f(A), где, как обычно многочлен f(X)= .

Упражнение 69.

Найдите все операторы (соответственно, матрицы 22), А: К²®К² такие, что А²=0.

1.9. Полилинейные формы.

Мы уже познакомились с линейными формами f:V®K, билинейными формами f: (VV)®K.

Def. Отображение f: (VV´…V)®K называется полилинейным или n-линейным (по числу сомножителей в скобках – экземпляров одного и того же ЛП V над полем К) или полилинейной формой, если оно линейно по каждой переменной-вектору при фиксированных остальных (т.е., превращается в линейную форму). Если мы фиксируем все переменные, кроме двух, то получим билинейную форму на этих двух переменных.

Def. Форма f называется знакопеременной, если f(x₁,x₂,...,x_n)=0 всякий раз, когда две каких-либо соседних переменных (векторных!) равны (т.е., x_i=x_i+1 при каком-то i, 1in-1.)

Упражнение 70. Пусть f: (VV)®K – знакопеременная билинейная форма. Докажите, что f(x,y)=-f(y,x).

Упражнение 71. Если мы переставляем два соседних аргумента n-линейной знакопеременной формы, то она меняет знак: f(…,x_i,x_i+1,...)=- f(…, ,x_i+1, x_i,...).

Упражнение 72. Если x_i=x_j для ij, то f(x₁,...,x_n)=0 (т.е., обращается в нуль не только при равенстве двух соседних аргументов, а при равенстве любых двух аргументов).

Упражнение 73. Значение f(x₁,...,x_n) не изменится, если заменить х_i на х_i+aх_j, а все остальные аргументы при этом оставить прежними. Упражнение 74. Найдите выражение для знакопеременной билинейной формы f (v,w), как функции координат векторов v и w, где v,wК² и заданы столбцами матрицы : v=ae₁+ce₂; w=be₁+de₂. На единичной матрице она должна принимать значение 1: . Справившись с этой задачей, сделайте то же самое для знакопеременной трилинейной формы f(v,w,z), где v,w,zК³ и заданы столбцами матрицы 33. Попробуйте распространить ваш результат для n-линейной знакопеременной формы f(x₁,x₂,...,x_n), где все x_iКⁿ и заданы столбцами матрицы nn.