1.5. Дуальное пространство.

Определение.

ЛП всех линейных функционалов на ЛП V (см. упр.24) называется дуальным или сопряжённым к ЛП V и обозначается V*. Пусть хV, fV*. Запишем f(x) в виде х,f; х,fK. Фиксируем х. Получаем линейный функционал на V*.То есть, х выступает в качестве х**ÎV**. Получается **:VV**.

Упражнение 48.

Отображение ** инъективно. (hint: look up #23)

Def. Инъективные отображения называются ещё вложениями.

Def. Пусть S – множество, sÎS –его элемент. Функцию _s, определяемую так: _s(s)=1, d_s(t)=0 для всех остальных элементов tÎS, называют дельта-функцией (Дирака). В случае, когда S={1,2,...,n} вместо d_i(k) пишут d_ik и называют символом Кронекера. Итак, d_ik=1, если i=k и d_ik=0 если ik.

Упражнение 49.

Пусть {x₁,...,x_n} – базис V, f_iÎV*- функционал, для которого f_i(x_j)=d_ij. Тогда {f₁,..., f_n}- базис для V*.

Следствие:

Упражнение 50.

Если V конечномерно, то**:VV** является изоморфизмом V на V**.

Def. Для базиса {x_i}, i=1,2,…,n базис {f_i}, i=1,2,…,n определённый в упр.49 называется дуальным или сопряжённым.

Упражнение 51.

dimV=n, fÎV*- линейный функционал.dimKerf=n-1.

Def. Пусть имеется линейное отображение линейных пространств f:E®V. Оно индуцирует (порождает) линейное отображение сопряжённых линейных пространств f_*: V^*®E^* следующим образом. Берём v*V^*. Надо определить f_*(v*). Раз это должен быть элемент из Е^*, то это – линейный функционал на Е. Задать его, значит определить его значения на каждом элементе из Е. Берём еЕ. Ему соответствует f(е)V.

А v*-то – это как раз линейный функционал на V, то есть известно его значение на f(е); v*(f(е))К. Вот это-то значение и поставим в соответствие элементу е как значение функционала f_*(v*). Итак, по определению, f_*(v*)(е)= v*(f(е)). Поскольку равенство функций и означает совпадение их областей определения и их значений на всех аргументах, это тождество можно переписать как f_*(v*)= v*f.

Упражнение 52*.

Пусть последовательность точна. Тогда индуцированная последовательность также точна.

Def. Пусть V и W – два ЛП над К и пусть задано отображение VWK; (v,w) .

Оно называется билинейной формой, если при фиксированном одном аргументе оно является линейным по второму. Иначе говоря, vV отображение w W^* и wW отображение v V ^*. Таким образом, имеем отображения :V®W^* и :W®V^*. Пусть SW – некоторое подмножество. Элемент vV называется перпендикулярным или ортогональным к подмножеству S, если sS. Обозначим S^ множество всех таких v.

Упражнение 53. S^- подпространство в V.  и  - линейные отображения.

Def. Ядро слева билинейной формы определяется, как W^, ядро справа – как V^{^}. Форма называется невырожденной слева (соответственно, справа), если W^=0 (соответственно, V^{^}=0).

Упражнение 54.

Докажите, что W^{^}=kerc, V^{^}=kerf. Докажите, что индуцированная билинейная форма определена и невырождена с обеих сторон.

Упражнение 55.

Индуцированные линейные _*: ®( )^* и _*: ® ( )^* инъективны.

Упражнение 56.

Если : конечномерно, то: ®( )^* - изоморфизм.

Применим теперь всё вами доказанное к теореме о ранге матрицы. Пусть имеется поле К и прямоугольная матрица A=(a_ij) размера mn с компонентами из этого поля: i,j a_ijК. Как уже было упомянуто, рангом системы векторов ЛП V называется размерность подпространства ими порождённого (т.е., образованного всевозможными линейными комбинациями с коэффициентами из поля К). У матрицы A= можно рассматривать как строчный ранг R_row – размерность подпространства V, порождённого m строками R₁,...,R_m, рассматриваемыми как вектора пространства Кⁿ, так и столбцовый ранг R_column– размерность подпространства W, порождённого n столбцами С₁,…,С_n, рассматриваемыми как вектора пространства К^m.

R_i=(a_i1,a_i2,…,a_in); C_j=(a_1j,a_2j,…,a_mj). Хотелось бы, чтобы обе эти величины оказались равными – тогда можно было бы говорить о ранге матрицы. К счастью, дело обстоит именно так, и в этом (в доказательстве этого утверждения) и состоит упражнение 57. Но прежде, чем его сформулировать, укажем на подходы к выводу этой (пока ещё) гипотезы. Возьмём вектор X=( x₁,x₂,…,x_m). Поставим ему в соответствие линейную комбинацию строк x₁R₁+...+x_mR_m. Это соответствие можно рассматривать как линейное сюръективное отображение f: К^m®V (проверьте линейность и сюръективность).

Если E - ядро этого отображения, то m=dimE+dimV=dimE+R_row. С другой стороны, если YW, то =x₁y₁+x₂y₂+…+x_my_m -билинейная форма на (K^mW). Проверьте её билинейность. Докажите, что у неё W^={0}, (K^m)^=W.

Теперь вы уже сможете сами установить, что

Упражнение 57. (теорема о ранге матрицы)

R_row =R_column. Эта величина R называется рангом матрицы A=(a_ij).