- •Vector spaces
- •1.2. Линейные (векторные) пространства.
- •1.3. Линейная зависимость, независимость, базисы.
- •1.4. Морфизмы и матрицы.
- •1.5. Дуальное пространство.
- •1.6. Связь с линейными уравнениями.
- •1.7. Инвариантные подпространства.
- •1.8. Многочлены от операторов и матриц.
- •1.9. Полилинейные формы.
1.5. Дуальное пространство.
Определение.
ЛП всех линейных функционалов на ЛП V (см. упр.24) называется дуальным или сопряжённым к ЛП V и обозначается V*. Пусть хV, fV*. Запишем f(x) в виде х,f; х,fK. Фиксируем х. Получаем линейный функционал на V*.То есть, х выступает в качестве х**ÎV**. Получается **:VV**.
Упражнение 48.
Отображение ** инъективно. (hint: look up #23)
Def. Инъективные отображения называются ещё вложениями.
Def. Пусть S – множество, sÎS –его элемент. Функцию s, определяемую так: s(s)=1, ds(t)=0 для всех остальных элементов tÎS, называют дельта-функцией (Дирака). В случае, когда S={1,2,...,n} вместо di(k) пишут dik и называют символом Кронекера. Итак, dik=1, если i=k и dik=0 если ik.
Упражнение 49.
Пусть {x1,...,xn} – базис V, fiÎV*- функционал, для которого fi(xj)=dij. Тогда {f1,..., fn}- базис для V*.
Следствие:
Упражнение 50.
Если V конечномерно, то**:VV** является изоморфизмом V на V**.
Def. Для базиса {xi}, i=1,2,…,n базис {fi}, i=1,2,…,n определённый в упр.49 называется дуальным или сопряжённым.
Упражнение 51.
dimV=n, fÎV*- линейный функционал.dimKerf=n-1.
Def. Пусть имеется линейное отображение линейных пространств f:E®V. Оно индуцирует (порождает) линейное отображение сопряжённых линейных пространств f*: V*®E* следующим образом. Берём v*V*. Надо определить f*(v*). Раз это должен быть элемент из Е*, то это – линейный функционал на Е. Задать его, значит определить его значения на каждом элементе из Е. Берём еЕ. Ему соответствует f(е)V.
А v*-то – это как раз линейный функционал на V, то есть известно его значение на f(е); v*(f(е))К. Вот это-то значение и поставим в соответствие элементу е как значение функционала f*(v*). Итак, по определению, f*(v*)(е)= v*(f(е)). Поскольку равенство функций и означает совпадение их областей определения и их значений на всех аргументах, это тождество можно переписать как f*(v*)= v*f.
Упражнение 52*.
Пусть последовательность точна. Тогда индуцированная последовательность также точна.
Def. Пусть V и W – два ЛП над К и пусть задано отображение VWK; (v,w) .
Оно называется билинейной формой, если при фиксированном одном аргументе оно является линейным по второму. Иначе говоря, vV отображение w W* и wW отображение v V *. Таким образом, имеем отображения :V®W* и :W®V*. Пусть SW – некоторое подмножество. Элемент vV называется перпендикулярным или ортогональным к подмножеству S, если sS. Обозначим S множество всех таких v.
Упражнение 53. S- подпространство в V. и - линейные отображения.
Def. Ядро слева билинейной формы определяется, как W, ядро справа – как V^. Форма называется невырожденной слева (соответственно, справа), если W=0 (соответственно, V^=0).
Упражнение 54.
Докажите, что W^=kerc, V^=kerf. Докажите, что индуцированная билинейная форма определена и невырождена с обеих сторон.
Упражнение 55.
Индуцированные линейные *: ®( )* и *: ® ( )* инъективны.
Упражнение 56.
Если : конечномерно, то: ®( )* - изоморфизм.
Применим теперь всё вами доказанное к теореме о ранге матрицы. Пусть имеется поле К и прямоугольная матрица A=(aij) размера mn с компонентами из этого поля: i,j aijК. Как уже было упомянуто, рангом системы векторов ЛП V называется размерность подпространства ими порождённого (т.е., образованного всевозможными линейными комбинациями с коэффициентами из поля К). У матрицы A= можно рассматривать как строчный ранг Rrow – размерность подпространства V, порождённого m строками R1,...,Rm, рассматриваемыми как вектора пространства Кn, так и столбцовый ранг Rcolumn– размерность подпространства W, порождённого n столбцами С1,…,Сn, рассматриваемыми как вектора пространства Кm.
Ri=(ai1,ai2,…,ain); Cj=(a1j,a2j,…,amj). Хотелось бы, чтобы обе эти величины оказались равными – тогда можно было бы говорить о ранге матрицы. К счастью, дело обстоит именно так, и в этом (в доказательстве этого утверждения) и состоит упражнение 57. Но прежде, чем его сформулировать, укажем на подходы к выводу этой (пока ещё) гипотезы. Возьмём вектор X=( x1,x2,…,xm). Поставим ему в соответствие линейную комбинацию строк x1R1+...+xmRm. Это соответствие можно рассматривать как линейное сюръективное отображение f: Кm®V (проверьте линейность и сюръективность).
Если E - ядро этого отображения, то m=dimE+dimV=dimE+Rrow. С другой стороны, если YW, то =x1y1+x2y2+…+xmym -билинейная форма на (KmW). Проверьте её билинейность. Докажите, что у неё W={0}, (Km)=W.
Теперь вы уже сможете сами установить, что
Упражнение 57. (теорема о ранге матрицы)
Rrow =Rcolumn. Эта величина R называется рангом матрицы A=(aij).