1.2. Линейные (векторные) пространства.

Определения.

Модули над полями (а также телами) называются векторными или линейными пространствами (ЛП).

Мы будем в основном рассматривать векторные пространства (ЛП) над полями. Полезно, однако, следить за тем, какие утверждения и доказательства проходят и остаются верными и в более общей ситуации (для ЛП над телами или даже для модулей). Элементы векторных пространств называются векторами, элементы поля, действующего на ЛП, называются скалярами (а само поле – полем скаляров или скалярным полем). Действие элементов поля на группу векторов часто называют (и мы будем так поступать) умножением и записывают как произведение.

Примеры.

1. Рассмотрим множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Проверьте, что это – векторное пространство над полем Q. Найдите его подпространства. Можно рассматривать вместо поля Q другие поля, например, поле Z/pZ классов вычетов по модулю простого числа р. Можно вместо многочленов рассматривать ряды Тейлора или Лорана. И те и другие образуют ЛП, причём многочлены образуют подпространство в пространстве рядов Тейлора. (Все эти утверждения вам предстоит обосновать).

2. Пусть F – поле, а Fⁿ – его n-ая степень, то есть, множество всех наборов (f₁,f₂,...,f_n), где все f_iF. Определите самым естественным образом действие F на Fⁿ и убедитесь, что получилось ЛП над F. Можно рассматривать и произведение F^ счётного множества сомножителей F, то есть, множество всевозможных последовательностей (f₁,f₂,...,f_n,…) элементов из F. Оно также легко превращается в ЛП, причём так, что все Fⁿ «вкладываются» в F^ - становятся изоморфны его подпространствам (каким?).

3. Пусть Е, F – поля, причём ЕF. Тогда F можно рассматривать как ЛП над Е.

4. Пространство F^А={ff:AF} всех функций отображающих множество А (возможно, безо всякой дополнительной структуры) в поле F. Множество А может быть как числовым множеством (полем рациональных чисел, кольцом целых чисел, полем Z/pZ или их подмножеств) так и нечисловым (точечным подмножеством плоскости, множеством каких-либо фигур, тел и т.п.). Если А конечно, cardA=n, то F^АFⁿ.( обозначает «изоморфно»).

5. Подмножество S₀ пространства F^А состоящее из функций, обращающихся в ноль в какой-то фиксированной точке множества А, S₀={ff:AF, f(a₀)=0}. Будет ли оно само ЛП, подпространством ЛП предыдущего подпункта? Можно ли заменить точку a₀ произвольным подмножеством А₀А?

6. Р ассмотри плоскость с выделенной точкой О («началом координат») и рассмотрим стрелки – «направленные отрезки, торчащие из этой точки. Короче говоря, каждую точку плоскости В соединяем с этой О и получаем стрелку с началом в О и концом В.Для того, чтобы превратить множество этих стрелок в ЛП, а их самих, т.о., в векторы, определим сначала операцию «сложения стрелок», превратив их в абелеву группу, а затем и действия поля (например, Q) на них. Складывать стрелки будем по «правилу параллелограмма»: на сторонах ОВ и ОА строим параллелограмм ОВСА и его диагональ называем суммой + . Умножать же стрелки на элементы поля Q будем по правилам гомотетии с центром в точке О: при умножении на k>0 стрелка вытягивается (сокращается, если k<1) в k раз, находясь на том же луче, при умножении на k<0 её направление меняется на противоположное. Проверьте, что эти определения действительно превращают множество этих стрелок в ЛП. Этот пример и послужил отправной точкой (вместе с его трёхмерным аналогом) для развития всей теории, пришёл он, разумеется, из физики, с её векторами сил и скоростей. Его также удобно рисовать и иметь перед глазами и тогда, когда векторы представляют собой куда более абстрактные объекты.

7. Ту же плоскость, но уже без выделенной точки рассмотрим и множество упорядоченных пар её точек – стрелок . Определим отношение (докажите, что оно – отношение эквивалентности) между стрелками. ~ , если ABDC –параллелограмм. Для того, чтобы не выделять случай вырожденного параллелограмма (когда и лежат на одной прямой), используем одно характеристическое свойство параллелограмма, которое сохраняется и в этом случае, а именно, то, что его диагонали делятся точкой их пересечения пополам. Итак, определим ~ , если середины отрезков AD и BC совпадают. Теперь можно выбрать на плоскости точку О и зафиксировать её. В каждом из полученных классов стрелок найдётся представитель класса с началом в этой точке. Мы уже умеем складывать и умножать на числа эти представители из предыдущего примера. Докажите, что полученное множество классов стрелок действительно становится ЛП (называемым аффинной плоскостью), т.е., что все определения корректны и согласованы. Совершенно аналогично получаем и трёхмерное аффинное пространство. В этих пространствах параллельный перенос является нулевым преобразованием (все вектора этого пространства остаются на своих местах).