Дополнительные вопросы к устному собеседованию

1. Что называется объединением множеств А и В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Объединением множеств Х и У называется множество Х состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Х или У.

2.Что называется пересечением множеств А и В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Пересечением множеств Х и У называется множество Х состоящее из элементов, принадлежащих как множеству Х, так и множеству У.

3.Что называется разностью множеств А и В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Разностью множеств Х и У называется множество Х \ У, состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих множеству У.

4. Что называется дополнением множества А до множества В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Если множесто Х – подмножество множества У (Х ⊂ У), то разность У \ Х называют дополнением множества Х до множества У и обозначают символом С_УХ.

Итак, С_УХ = У \ Х.

Операцию нахождения дополнения подмножества до множества также называют дополнением.

5. Что называется прямым (декартовым) произведением множества А на множество В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его на примере

Декартовым (прямым) произведением множеств А₁, А₂, … , А_n называется множество А₁ А₂ … А_n , состоящее из упорядоченных наборов (а₁, а₂, … , а_n) их элементов, взятых по одному из каждого множества: а₁ А₁, а₂ А₂, … , а_n А_n.

Кратко: А₁ А₂ … А_n = {(а₁, а₂, … , а_n) | а₁ А₁, а₂ А₂, … , а_n А_n}.

В частности, А В = {(x, y) | x А, y В}.

По определению принимают, что А = А = = .

Декартово произведение А называют декартовым квадратом или просто квадратом множества А и обозначают символом А². Т.о.,

А² = А {(x, y) | x А, y А}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств называют декартовым умножением множеств.

6. Что называется бинарным отношением в множестве а? Сформулируйте определение и приведите пример бинарного отношения в множестве.

Определение 1. Бинарное отношение во множестве А – это правило, позволяющее составлять упорядоченные пары (х, у) из элементов х, у множества А.

Другое, близкое по смыслу, но не идентичное данному, определение таково:

Определение 2. Бинарным отношением в множестве А называют любое подмножество Р декартова произведения А А (декартова квадрата А²).

Согласно этому определению

Р ⊂ А А.

Пример 1. Пусть А = {1, 2, 3}. Зададим в множестве А бинарное отношение Р правилом:

«хРу (элемент х находится в отношении Р с элементом у) тогда и только тогда, когда х ≤ у».

(с точки зрения логики правило задано в форме двуместного предиката).

В данном случае, бинарное отношение Р задано словесным правилом. Его естественно назвать отношением «не больше». Символ ≤ также можно было бы принять в качестве обозначения данного бинарного отношения.

Очевидно, этому правилу удовлетворяют только следующие упорядоченные пары элементов множества А:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3).

7. Что называется отношением эквивалентности в множестве А? Сформулируйте определение и приведите пример отношения эквивалентности в множестве.

Отношение Р в множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет трем условиям:

1) аРа, а А (рефлексивность);

2) аРв вРа, а, в А (симметричность);

3) аРв, вРс ⇒ аРс, а, в, с А (транзитивность).

Пример 1. Отношение ⇈ сонаправленности лучей во множестве А ориентированных лучей на плоскости (в пространстве).

В самом деле, во-первых, это – бинарное отношение на А, т.к. позволяет пары лучей по указанному принципу.

Во-вторых, выполняются условия 1) – 3):

1) а ⇈ а, а А;

2) а ⇈ в в ⇈ а, а, в А;

3) а ⇈ в, в ⇈ с ⇒ а ⇈ с, а, в, с А.

Пример 2.Отношение = равенства фигур на плоскости (в пространстве).

В самом деле, во-первых, это – бинарное отношение в А, т.к. позволяет пары лучей по указанному принципу.

Во-вторых, выполняются условия 1) – 3):

1) а = а, а А;

2) а = в в = а, а, в А;

3) а = в, в = с ⇒ а = с, а, в, с А.

8. Что называется классом эквивалентности элемента а множества А, относительно заданного в нем отношения эквивалентности? Сформулируйте определение и приведите пример класса эквивалентности элемента множества.

Классом эквивалентности элемента а множества А по отношению называется множество [a] , состоящее из элементов этого множества, эквивалентных элементу а:

[a] = {x A | x а}.