30. Разложение функции в степенной ряд. Формулы Тейлора и Маклорена.
Y=f(x)
Определение: говорят, что функция f(x) разложима в степенной ряд на промежутке от –R до R, если существует такой степенной ряд, , сходящийся на этом промежутке к ф-ии f(x), т.е.
= f(x)=
Теорема 1. д/того чтобы ф-ю f(x) можно было разложить в степенной ряд необходимо чтобы она была бесконечно дифференцируема.
Док-во: f(x)=
f’(x)=
f’’(x)=
….
fn(x)→∀nЄN
Теорема 2. Если ф-я f(x) разложима в степенной ряд, то это разложение единственно.
Док-во: f(x)= х∈ (-R; R)
х=0;
f(0)=
f’(x)=
x=0;
f’(0)=
f’’(x)=
x=0;
f’’(0)=
f’’’(0)=
fIV(0)=
fn(0)=
т.к. коэффициенты ряда единственным образом выражены через ф-ю, то разложения в ряд единственны.
f(x)=
f(0)+ f’(0)x+
ряд Тейлора (частный
случай ряда Тейлора записанный в точке
х=0 называется ряд Макларена) д/ф-ии f(x)
на промежутке (-R;
R)
(ряд записан в точ х=0)
f(x)=
f(x0)+
f’(x0)(
)+
+…+
ряд Тейлора
записан в точке
область (х0-R;х0+R)
Y=f(x)
f(x)=
- остаточный член ряда Тейлора.
- ряд сходится,
если сущ-ет
-
сумма ряда.
,где
Θ – некоторая промежуточная точка в
окрестностях точки х0.
Теорема 3. д/ того,ч тобы ряд Тейлора к порождающей его функции f(x) остаточный член ряда должен стремится к 0 при n→∞.
Если
ряд сходится в функции f(x)→
f(x)
совпадает с суммой ряда и
совпадает с
Составляем ряд Тейлора при х=0:
f(x)~0+0·х+0·х2+…=0
f(x)≠ ф-я f(x) не совпадает с суммой ряда.
31. Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных ф-й.
Sinx=
f(0)=0
fn(x)=
f’(0)=
f’’(0)=
f’’’(0)=
f’’’’(0)=
32. Разложение в степенной ряд
(биноминальный ряд)
Это разложение имеет место:
При
если
При
-1
если
При
, если
f(0)=1
f’=
m(
=m
f’’=m(m-1)
(0)=
m(m-1)(m-2)…(m-n+1)+
R=
1
;
=
1-x+
+…
…
ln(1+x)
= 1*x-
-1
f(0)=0
f’(x)=
f’’(x)=
-
f’’’(x)
=
f’’’’(x)=
F’’’’’(x)=
!
…
R=
=1
x
x
33. разложение в степенной ряд
shx=
chx=
arctg
x =
…
x
+…+
arcsin x
….
m=-
+…
arcsin
x =
34. Периодические фун-ии
Y= f(x), периодич. , на [-п,п]. Т=2п
Т-период ф-ии
F(x+T)=f(x)
Св-ва перид. Фун-ий
1)
f1
2)
3)если f(x) – имеет период Т
f(a,x)
любую ф-ию можно разложить в
тригонометрический ряд вида
f(x)
sin2x+…+(
Тригонометрич.ряд
(1) f(x)
(1)
Интегрируем по промежутку от [-п;п]
х
*п
*
(2)
умножаем
на
,
а потом интегрируем
x
*п
*
(3)
Все
выражение (1) умножим на
,
x
*п
*
(4)
Ряд (1) ) f(x)
Коэффициент которого вычисляется по формулам 2,3,4 называется рядом Фурье для ф-ии f(x) на промежутке [–п;п]