5. Тройной интеграл

U=f(x,y,z)- Функция 3х переменных

TЄR³

lim – интегральная сумма д/функции 3х переменных по области V

Если существует предел интегральной суммы при условии, что он не зависит от разбиения на части и выбора промежутка, то он называется тройным интегралом по области от функции 3х переменных.

Если этот предел не зависит от способа разбиения, то область будем разбивать плоскостью // координатным плоскостям, и i-тый кусок будет параллелепипед со сторонами

Vпаp=

dv=dx dy dz

Условие существования – непирывность функции в области V

U=f(x,y,z)

Свойства 3-го интеграла

1 )

2)

3)V=V₁V₂ +

4)f(x,y,z)≥g(x,y,z) V(x,y,z)ЄV:

5)

6)m – наименьшее значение функциив области V, M – наибольшее значение функиции в области V

7) Теорема о среднем значении

f – неприрывна в области V, то найдется m₀ЄM₀

ср. занч.: f(M₀)=

6. Тройной интеграл

U=f(x,y,z)- Функция 3х переменных

TЄR³

lim – интегральная сумма д/функции 3х переменных по области V

Если существует предел интегральной суммы при условии, что он не зависит от разбиения на части и выбора промежутка, то он называется тройным интегралом по области от функции 3х переменных.

Если этот предел не зависит от способа разбиения, то область будем разбивать плоскостью // координатным плоскостям, и i-тый кусок будет параллелепипед со сторонами

Vпаp=

dv=dx dy dz

Условие существования – непирывность функции в области V

U=f(x,y,z)

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

V: z₁(x,y)≤z≤z₂(x,y)

Z

Порядок интегрирования произвольный, в зависимости от функции и области.

7. Замена переменных в тройном интеграле

x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) – ф-я неприрывна вместе с частными производными x’u, x’v, x’w y’u, y’v, y’w z’u, z’v, z’w, тогда существует определитель Якобиан J(uvw)= , если определитель отличен от 0

Цилиндрические координаты

zЄR

Вычисление Якобиана в цилиндрических координатах

Сферические координаты

= =

Обобщенные сферические координаты

J=abc

9. Приложения тройного интеграла

1)объем тела

2) масса тела

3) Статические моменты относительно координатных осей

Координаты центра тяжести

10. Криволинейный интеграл первого рода

Кривая l называется гладкой, если в каждой точке этой прямой существует касательная, положение которой неприрывно меняется при движении точки по кривой.

Если прямая гладкая, а функция f(x,y)- неприрывная, то интеграл существует

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1)

2)

3)

4)

5) f(x,y)≥g(x,y) V(x,y)ЄV

6)

7) Если ф-я неприрывна на интервале АВ. То найдется точка МЄАВ

11. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

dl-дифференциал

1)АВ: у=у(х) – явно

2) AB: x=x(t); y=y(t)

3) AB:

12. Криволинейный интеграл 2-го рода

- интегральная сумма д/ф-ии Р(х,у) по координате х

Если существует предел указанной суммы при условии что кол-во точек разбиения стремится к бесконечности, а Δх к нулю не зависящий ни от способа разбиения на части, ни от выбора промежутка Мi, то он называется криволинейным интегралом функции Р по координате х.

Q(x,y) – непрерывна по АВ и составить д/нее криволинейный интеграл по оси у→

Интеграл 2-го рода общего вида:

Условия существования криволинейного интеграла 2-го рода:

Если ф-ии непрерывны в каждой точке гладкой кривой АВ, то криволинейный интеграл 2-го рода существует.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. 

2)

3) Если АВ замкнута , то интеграл не зависит от начальной точки интегрирования но зависит от выбора направления интегрирования

Направление движения против часовой стрелки положительное!

13. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода:

Параметрически.

АВ: х=х(t) y=y(t)

∆x_i=x_i-1=x’(t_i)∆t_i

∆y_i=y_i-1=y’(t_i)∆t_i

t_i: x_i(t_i), y_i(t_i)

составляем интегральную сумму:

Интегральная сумма

2) В декартовых координатах.

х=х

у=у(х)

14. Приложение криволинейного интеграла первого рода

1) Длина кривой

2) Масса материальной кривой m=

3) Статические моменты материальной кривой

4) Координаты центра тяжести

5) Площадь цилиндрической поверхности f(x,y)=z

Приложение криволинейного интеграла 2-го рода

Площадь области Д: S:

S:

S:

15. Формула Остроградского-Грина

Если ф-ии непрерывны вместе с в замкнутой области D, то имеет место формула

Доказательство:

16. Условие независимости интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Область Д называется односвязной, если найдется бесконечное количество линий, которые связывают любые точки А и В (А,В – целиком находятся в этой области.)

Если ф-ии P и Q непрерывны в односвязной области Д вместе с , то для того, чтобы криволинейный интеграл 2-го рода не зависел от путей интегрирования необходимо и достаточно, чтобы

1. Н.у. пусть не зав-т от путей интегрирования, тогда:

2. Д.у. из формулы Грина:

Следствие 1. Если контур замкнут и

Следствие 2.

не зависит от путей интегрирования, но зависит от выбора точек.

Замечание. Если интеграл второго рода не зав-т от пути интегрирования, то путь выбирается самостоятельно любым образом (линия соед. А и В). Удобно выбирать 2 пути || осям координат.

17. Полный дифференциал  функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение

        

        в случае, когда оно отличается от полного приращения         Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

        на величину, бесконечно малую по сравнению с

        

Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции z=f(x,y)

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) .