2 Мета і завдання дисципліни

Но-мер

за-лік. кред.

Змі-стов. мод.

Назва та зміст змістовного модуля

Розподіл часу за видами занять,

год

Рейтин-гова оцінка

Лек-ції

Практ.

занят

Самостійна робота студентів

години

кз

1

2

3

4

5

6

7

8

І

Введення в дисципліну.

0,25

-

0,625

-

В.1

Мета і задачі дисципліни, її місце в системі підготовки фахівців з комп'ютерних наук.

0,25

-

0,125

-

В.2

(сам. роб.)

Історія зародження, розвитку і становлення дискретної математики. Внесок вчених у її розвиток.

-

-

0,5

-

1.

Основи теорії множин. Алгебра множин.

3,75

4

5,875

-

3-5

1.1

Основні поняття і позначення теорії множин. Інтуїтивне поняття множини. Елементи множини. Скінченні та нескінченні множини. Універсальна і порожня множини. Способи задання множин. Потужність множин. Множина і підмножини.

1,75

4

2,875

-

3-5

1.2

Алгебра множин. Геометрична інтерпретація множин: кола Ейлера та діаграми Венна. Операції на множинах. Загальне визначення алгебри. Поняття алгебри множин. Аксіоми алгебри множин. Принцип двоїстості. Тотожні перетворення формул алгебри множин.

2

3

-

2.

Відношення та їх властивості.

6

6

9

-

7-12

2.1

Відношення та операції над ними.

Декартів добуток множин. Поняття відношення. Бінарні та n-арні відношення. Область визначення та область значень відношення. Способи задання відношень.

Операції над відношеннями.

2

4

3

-

4-7

2.2

Властивості бінарних відношень. Рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність, асиметричність, транзитивність, анти-транзитивність відношень. Класи бінарних відношень. Відношення еквівалентності. Класи еквівалентності. Відношення порядку. Відношення толерантності.

2

3

-

2.3

Функціональні відношення.

Області визначення і значень. Функції і відображення. Типи відображень: сюр'єкція, ін'єкція, бієкція,

1

2

2,5

-

3-5

2.4

Елементи реляційної алгебри. Реляційна модель даних. Поняття реляційної алгебри. Операції реляційної алгебри.

1

-

0,5

-

3

(сам. роб.)

Алгебри (алгебраїчні структури)

-

-

1,5

-

3.1

(сам. роб.)

Алгебраїчні операції та їх властивості. Унарна, бінарна, n-арна операція. Способи записів операцій. Основні властивості операцій. Операції додавання та множення за модулем.

-

-

0,5

-

3.2

(сам. роб.)

Поняття алгебраїчної структури Підструктура. Морфізми (гомоморфізм, ізоморфізм). Найпростіші алгебраїчні структури. Кільці і поля. Гратки.

-

-

1

-

Підсумок

10

10

17

10-17

ІІ

4

Основи математичної логіки

14

12

20

19-32

4.1

Двійкова логіка. Булеві функції та перетворення.

8

8

12,5

12-20

4.1.1

Булеві функції (основні поняття). Булева алгебра. Булеві змінні і функції. Область визначення та область значень булевий функцій. Способи задання булевих функцій. Реалізація булевих функцій формулами. Елементарні функції алгебри логіки. Двоїстість. Двоїсті та самодвоїсті булеві функції. Принцип двоїстості. Закони і тотожності булевої алгебри. Еквівалентні перетворення формул булевої алгебри.

2

2

3

3-5

4.1.2

Нормальні форми булевих функцій.

Основні поняття. Нормальні форми: диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ), кон’юнктивна нормальна форма (КНФ). Досконалі нормальні форми (ДДНФ, ДКНФ). Диз’юнктивні та кон’юнктивні розкладання булевих функцій. Перехід від таблиці булевої функції до формули алгебри логіки і навпаки.

2

2

3

3-5

4.1.3

Мінімізація булевих функцій. Основні поняття. Критерії мінімізації. Основні методи мінімізації булевих функцій. Метод мінімізуючих карт (діаграми Карно-Вейча).

2

2

3

3-5

4.1.4

Алгебра Жегалкіна. Структура і тотожністі алгебри Жегалкіна. Поліном Жегалкіна та правило його побудови. Лінійні булеві функції.

1

2

1,5

3-5

4.1.5

Функціональна повнота наборів булевих функцій.

Типи булевих функцій. Замкнені класи булевих функцій. Поняття повноти набору булевих функцій. Теореми Поста про функціональну повноту набору булевих функцій.

1

1,5

4.1.6

(сам. роб.)

Логічні схеми. Синтез комбінаційних схем. Перемикальні ланцюги; двох- і багатоступінчасті комбінаційні схеми.

-

-

0,5

4.2

Логіка висловлень.

3

2

3,5

3-6

4.2.1

Висловлення. Алгебра висловлень.

Висловлення (основні поняття). Логічні зв'язки і формули логіки вісловлень. Побудова складних формул. Алгебра логіки і логіка висловлень. Інтерпретація формул логіки висловлень. Правильні міркування. Логічна еквівалентність і логічний наслідок.

1

2

1,5

3-6

4.2.2

Обчислення висловлень. Аксіоми та повнота обчислення логіки висловлень. Висновки в обчисленні висловлень. Дедуктивні висновки у логіці висловлень. Несуперечність, незалежність. Різні аксіоматизації обчислення висловлень.

2

2

4.3

Логіка предикатів (Логіка першого порядку).

3

2

3,5

4-6

4.3.1

Предикати. Алгебра предикатів.

Основні поняття логіки предикатів. Операції логіки предикатів. Кванторні операції. Формули та їх інтерпретація у логіці предикатів. Закони і тотожності логіки предикатів. Випереджені нормальні форми.

2

2

2

4-6

4.3.2

Обчислення предикатів.

Логічний висновок у логіці предикатів.

1

1,5

4.4

(сам. роб.)

Багатозначна логіка. Основні поняття і функції k-значної логіки.

-

-

0,5

5

Основи комбінаторного аналізу

6

4

9,5

7-11

5.1

(сам. роб.)

Історія розвитку комбінаторики.

Класичні задачі комбінаторного аналізу. Сучасні задачі, які вирішуються комбінаторними методами.

-

-

0,5

5.2

Загальні визначення комбінаторики. Моделі типових комбінаторних конфігурацій. Поняття r-вибірки. Загальні правила і задачі комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки, розміщення, сполучення (без повторень та з повтореннями).

2

2

2

3-5

5.3

(сам. роб.)

Властивості сполучень. Біном Ньютона. Біноміальні коефіцієнти. Трикутник Паскаля. Поліноміальна теорема.

-

0,5

5.4

Принцип включення і виключення. Теорема та формула включень і виключень.

1

1,5

5.5

Задачі про розподіл предметів за урнами (урнові схеми вирішення комбінаторних задач). Розподіл однакових об’єктів за урнами. Розподіл неоднакових об’єктів за урнами. Числа Стирлинга. Числа Моргана. Числа Белла. Композиції і розбиття.

2

2

3

4-6

5.6

Підходи до вивчення комбінаторних об’єктів і чисел. Поняття про продуктивні функції. Поняття про рекурентні співвідношення.

1

-

0,5

5.6.1

Метод продуктивних функцій. Продуктивні функції сполучень. Продуктивні функції розміщень та перестановок. Продуктивні функції для розбиття чисел.

-

-

1

5.6.2

Метод рекурентних співвідношень. Числа Фібоначчі.

-

-

0,5

6 (сам. роб.)

Основи теорії кодування. Алфавітне кодування. Кодування з мінімальною надлишковістю. Алгоритм Фано. Алгоритм Хаффмена. Завадостійке кодування. Стиснення даних. Криптографія.

-

-

2

Контрольна робота (позааудиторна)

-

-

4(КРд)

3-5

Підсумок

20

16

35,5

29-48

ІІІ

7

Основні поняття теорії графів

14

14

31,5

2(КРа)

18-29

7.1

(сам. роб.)

Зародження теорії графів як математичної дисципліни. Типові задачі теорії графів.

-

-

0,5

7.2

Походження графів. Визначення графів. Різновиди графів. Неорієнтовані та орієнтовані графи. Основні терміни для неорієнтованих та орієнтованих графів. Способи задання графів. Геометрична реалізація графів. Матриця суміжності. Матриця інциденцій. Число вершин і ребер графа.

2

4

3

4-6

7.3

Операції над графами. Операції вилучення ребер та вершин. Операція введення ребра, операція введення вершини у ребро. Операція об’єднання графів. Операції додавання і множення графів.

1

2,5

7.4

Ізоморфізм графів. Підграфи. Алгебраїчний критерій ізоморфізму графів. Зв'язок з відношеннями. Ізоморфізм як відношення еквівалентності. Плоскі та планарні графи. Гомеоморфні графи. Теорема Понтрягіна-Куратовського. Теорема Жордана. Жорданова крива. Побудова плоского зображення графа.

1

2

1,5

3-5

7.5

Зв'язність графів. Ейлерові та гамільтонові графи. Поняття зв'язності графів, компонента зв'язності, n-зв'язний граф. Властивості зв'язних графів. Метричні характеристики зв'язних графів.

Ейлерові та гамільтонові графи. Теорема Ейлера. Алгоритм знаходження ейлерова цикла (теорема Флері). Ознаки існування гамільтонових циклів, шляхів і контурів.

2

2

7.6

Цикломатика графів.

Цикломатичне число та його властивості. Цикломатична матриця. Базис циклів. Алгоритм побудови базису циклів.

1

-

0,5

7.7

(сам. роб.)

Задача комівояжера.

Приклади практичних задач, що зводяться до задачі комівояжера.

-

-

1

7.8

Дерева. Визначення дерева, властивості дерев, ліс. Перелічення графів і дерев. Остови графа. Орієнтовані і бінарні дерева. Правила обходу бінарних дерев. Еквівалентні бінарні дерева.

2

2

3

3-5

7.9

Розфарбування графів.

Фарбування вершин та ребер. Хроматичне число, теорема про біхроматичний граф. Хроматичний клас. Теорема Брукса. Гіпотеза чотирьох фарб. Теорема про п'ять фарб. Прикладні задачі, що зв’язані з розфарбуванням графів

1

-

0,5

7.10

Двудольні та k-дольні графи.

1

0,5

7.11

Транспортні мережі та течії. Їх властивості.

7.11.1

Найкоротші відстані та шляхи у мережах.

Алгоритм визначення відстані між вершинами на графі з одиничними довжинами ребер. Алгоритм Дейкстри (Форда) визначення відстані між вершинами на графі з довільними довжинами ребер.

1

2

2,5

4-6

7.11.2

(сам. роб.)

Алгоритми Флойда і Данцига пошуку найкоротших шляхів між всіма парами вершин графа

-

-

1

7.11.3

Течії у мережах.

Задача про максимальну течію у мережі. Розріз мережі. Теорема про максимальну течію і мінімальний розріз. Алгоритм Форда-Фалкерсона.

2

4

5

4-7

8 (сам. роб.)

Елементи теорії формальних граматик.

Задачі формалізації мов та перекладу. Задання мов за допомогою граматик. Типи граматик.

-

-

3

9 (сам. роб.)

Елементи теорії скінчених автоматів.

Загальна характеристика автоматів. Розпізнавачі. Скінченні автомати. Способи задання автоматів. Автомати Мили і Мура. Автомати з магазинною пам’яттю. Машина Тьюринга.

3

Контрольна робота (аудиторна)

-

-

-

2(КРа)

3-6

Підсумок

14

14

31,5

21-35

Усього за семестр

44

40

84

60-100