22.Производная по направлению. Градиент. Производная по направлению

Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .

Определение 4.3. Производной от функции в точке по направлению вектора называется предел отношения при , т.е.

.

Если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

, (4.1)

где  направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:

, (4.2)

где .

Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора . Если , то функция возрастает в направлении , если , то функция убывает в направлении .

Градиент

В каждой точке области , в которой задана скалярная функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

,

где   угол между и направлением .Свойства :1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, когда , т.е. при ; это наибольшее значение производной равно .

Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать.  наибольшая скорость изменения функции в точке .

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.

4) .

5) , где .

6) и др.

Пример 4.2. Дана функция . Найти:

1) производную в точке по направлению к точке ;

2) наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. 1) Находим координаты и направляющие косинусы вектора :

;

.

Находим частные производные и значения частных производных в точке :

;

;

.

Тогда по формуле (4.1) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция убывает.

2) Используя формулу (4.3) запишем градиент функции в точке :

.

Находим наибольшую скорость возрастания функции в точке :

.

23.Понятие векторного поля. Векторные (силовые) линии. Векторная трубка.Определение 4.5. Если каждой точке области соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки.

Вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов , т.е. .

Вектор можно представить, разложив его по ортам координатных осей, в виде:

,

где  проекции вектора на оси координат, а также скалярные функции, которые непрерывны со своими частными производными.

Простейшими геометрическими характеристиками векторного поля являются векторные линии.

Определение 4.6. Векторной (силовой) линией поля называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора

Определение 4.7. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинается с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

описываются системой дифференциальных уравнений

. (4.4)

Пример 4.3. Найти векторную линию векторного поля , проходящую через точку .

Решение. Согласно формуле (4.4) получаем систему дифференциальных уравнений

.

Решаем первое уравнение:

   .

или, в параметрическом виде: .

Решаем второе уравнение:

   .

Так как векторная линия должна проходить через точку , то легко находим, что постоянные интегрирования .

Уравнения векторной линии данного векторного поля имеют вид: ,  это винтовая линия.

Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля (или ), называется полем градиента. Векторные линии (или )  это кривые, вдоль которых функция (или ) максимально возрастает (убывает). Эти линии всегда ортогональны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного поля (или ).

Дифференциальные уравнения для определения векторных линий имеют вид:

.