14. Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.

Криволинейный интеграл II рода (кри-II)

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Криволинейный интеграл II рода определяется так же, как и интеграл I.

Пусть в пространстве ( ) задан вектор

координаты которого – непрерывные функции в точках ориентированной кривой .

Кривую разобьем в направлении от к на элементарных дуг и построим векторы , где  проекции векторов на оси координат.

Начала этих векторов совпадают с началом элементарных дуг , а концы – с их концами. На каждой элементарной части выберем произвольную точку и составим интегральную сумму

Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , и не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора произвольной точки , называется криволинейным интегралом второго рода (КРИ-II) или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции по кривой . Обозначается:

(2.6)

Если функции  непрерывны в точках гладкой кривой , то предел интегральной суммы существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода.Основные свойства КРИ-II

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е.

Если кривая интегрирования замкнута, криволинейный интеграл II рода обозначается . В этом случае через кривую проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривой , находится слева, если двигаться вдоль по выбранной стороне указанной поверхности, т.е. за положительный обход контура принимается обход против хода часовой стрелки.

Если плоскую область , ограниченную кривой , разбить на части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми и , то

где направления обхода по контурам , и  всюду либо положительные, либо отрицательные.

15. Формула Остроградского – Грина.

Связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по границе этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости задана правильная, односвязная область . Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит (область без «дыр»).

Теорема 2.1. Если функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области , лежащей в плоскости и ограниченной кусочно-гладкой кривой , то