book1989

систему (4), (5) в векторном виде (1).

412

При решении системы (4), (5) матричную прогонку можно про­ водить как по индексу 1, так и по индексу /. Покажем, например, как подготовить систему (4), (5) к виду (1), удобному для приме­ нения прогонки по индексу i. Перепишем систему (4) в виде

где i = l , 2, ..., JV,—1. Далее, обозначим через £ а единичную матри­ цу порядка — 1 и через Л2— следующую трехдиагональную ма­ трицу того же порядка

Ясно, что Л2 представляет собой матрицу оператора второй раз­ ностной производной по направлению хг-

Введем для i= 1,2, ... , N,—1 векторы

Тогда предыдущую систему уравнений можно записать в вектор­ ном виде

i = l , 2, ..., Nt— \.

Эту систему уравнений следует дополнить граничными условиями

Уа — Ро, У if , — Рлт,

413

где

дексу /, так как при этом соответствующие матричные коэффициен­ ты будут иметь порядок А,—1 гораздо меньший, чем N2—1. Соот­ ветствующая система векторных уравнений имеет вид

p,v2 = (PlAf,P2jVj . . . Рл',-1 ,Л'г)Г.

3. Алгоритм матричной прогонки. Пусть задана система урав­ нений (1). Формулы матричной прогонки можно получить так же, как и формулы обычной прогонки (см. п. 7 § 4 ч. I), однако при их выводе надо учитывать, что коэффициенты уравнения (1) непе­ рестановочны. Будем искать решение системы (1) в виде

где ai+,— квадратные матрицы того же порядка М, что и порядок матриц Aj, Ви Ci, а р,+1— вектор размерности М. Подставляя у;= = ai+1(/i+I-t-pi+i и yi-i= aiyi + $i=aia,i+lyi+i+ (аф,+1 + Р0 в уравнение

Aiyi-i—Ciyi+Biyi+i= —Fi,

получаем, что это уравнение будет выполнено, если потребовать

Здесь (= 1, 2, ..., N—1. Начальные значения a,i и p, задаются в соответствии с уравнением

СоУоА~ ВцУi = —Fц.

414

При реализации метода матричной прогонки приходится запо­ минать все матрицы оя, i = l , 2, ..., N—1, что ведет в случае матриц больших размеров к необходимости использования внеш­ ней памяти ЭВМ и тем самым к увеличению времени счета.

Кроме того, реализация формул (16) сама по себе требует боль­ шого числа действий. В каждой точке i приходится один раз обра­ тить матрицу и сделать два умножения матриц порядка М, что требует О(АН) арифметических действий. Следовательно, для вы­ числения всех коэффициентов со, i = l , 2, ..., N—1, требуется 0(M 3N) действий. Для модельной задачи, когда M = N = h ~ \ число действий становится величиной О (Л-4). По указанным причинам (большой объем памяти и значительное число арифметических дей­ ствий) матричную прогонку сравнительно редко применяют для решения задач математической физики. Однако в тех случаях, когда матрицы Аи Ви Ct невысокого порядка (небольшое число то­ чек по направлению х2), необходимый объем памяти и число дей­ ствий резко сокращаются и метод можно рекомендовать для прак­ тического использования.

4. Устойчивость матричной прогонки. Так же, как и в случае обычной прогонки, возникает вопрос о численной устойчивости ме­ тода матричной прогонки. Получим здесь достаточные условия устойчивости в виде требований, предъявляемых к матрицам А{, Bit Си i= 0 , 1, ..., N.

Пусть в системе (1) yt и /\— векторы размерности М, Ait Ви Ct— квадратные матрицы порядка М (векторы и матрицы могут быть как вещественными, так и комплексными). Будем рассматривать

415

матрицы Аи Ви Ci как линейные операторы, действующие в М-мер- ном линейном пространстве Н (вещественном или комплексном). Предположим, что в Н определены нормы вектора [Ml и подчинен­ ная ей норма матрицы. При доказательстве устойчивости прогонки нам потребуется следующее известное утверждение.

Л е м м а 1. Если для данной матрицы А существует константа Ч>0 такая, что для любого х ^ Н выполнено неравенство

числа матрицы А отличны от нуля и, следовательно, существует А~‘. Пусть Я — любое собственное число матрицы А и z — отвечаю­ щий ему собственный вектор, т. е. Az="kz. Согласно условию (19) имеем

WAz\\=\K\\\z\\^\\z\\,

т. е. |Я| ^ у > 0 , и тем самым Я=Д0.

Таким образом, матрица А имеет обратную. Пусть у ^ Н — лю­ бой вектор. Обозначая х=А~'у, получим из условия (19), что

системы (1). Действительно, в этом случае, исходя из рекуррентных формул (18), можно представить решение задачи (1) в явной фор­ ме в виде конечной суммы с коэффициентами, зависящими от он,

Условия Haill^l обеспечивают численную устойчивость счета по формуле (18). Нарушение этих условий не всегда приводит к силь­ ному накоплению погрешности. Однако подробный анализ вычис­ лительной погрешности метода прогонки выходит за рамки данной книги.

Сформулируем теперь теорему об устойчивости матричной про­

Пусть i e / / — любой вектор. Тогда

Таким образом, матрицы ос1+1, заданные рекуррентным соотно­ шением (16), существуют. Перепишем выражение для ai+l в виде

ai+i = (£ — CrMiGti)-1 (СГ^О-

Отсюда и из оценки (23) получим,что

I a,4i || ||(Е - CrMia,-)-1 IIII t f B i К 1.

Итак, ио индукции доказано, что jlaill^l, г= 1, 2, ..., N. Для завершения доказательства теоремы 1 осталось убедиться в том, что существует матрица, обратная к С.ч-—Л^а». Поскольку ||aNi l ^ l , получим, как и ранее, что

I! (Е — СмАман) *Ц (1 —1 СмЛд- |) ;| х ||

для любого х еЯ . Следовательно, неравенство (22) выполняется и

при i— N с константой 7^=1 — ЦСлМ^Ц. Неравенство ^ > 0 выпол­ нено в силу второго из условий (21). Теорема 1 доказана.

Применим теорему 1 к исследованию устойчивости метода про­ гонки для разностного уравнения Пуассона (см. п. 2). В этом

417

Тем самым условие (25) выполнено и матричная прогонка для системы (4) —(5) устойчива.

§6. Метод редукции

1.Вывод основных формул. Метод редукции является прямым

методом решения системы разностных уравнений, имеющих вид

альным отличием данной системы от системы (1) из § 5 является независимость матрицы С от индекса i и равенство коэффициентов

В основе метода редукции лежит специальный способ исключе­ ния неизвестных из системы (1). Запишем уравнение (1) в точках £—1 и £+1, т. е.

У1-г Q/i-l+i/i = Fi-i 1 J/i Cy.i+1-р£/i+2= Fi+!,

и сложим эти уравнения. Тогда получим

связывающему значения искомого вектора в узлах одинаковой чет­ ности. В частности, если £ — четные, то проведено исключение не­ четных узлов. Далее этот процесс исключения можно продолжить

к 0 0~Т~Т~^~^~Т^В~Т^В~0~Ю ~11~^1Т1ТУв~Тб

к = 3 к-

Рис. 16. Порядок исключения неизвестных в методе редукции

аналогичным образом. При этом необходимо предположить, что чис­ ло узлов N является степенью двойки, N = 2m. Прежде чем перехо­ дить к случаю произвольного т , рассмотрим для наглядности слу­ чай тп=4, т. е. Л£= 16.

Обозначим черезk номер этапа исключения неизвестных. При

k=0 система уравнений совпадает с исходной и содержит значения неизвестных во всех внутренних узлах. На рис. 16 это соответст­ вует верхней горизонтальной черте, где кружочками отмечены но­ мера неизвестных yh входящих в систему. На следующем этапе

419

(6=1) происходит исключение неизвестных с нечетными номерами, в результате чего получаем систему вида (3), содержащую значе­

какие неизвестные были исключены. На втором этапе (6 = 2) оста­ ется каждый четвертый узел и на заключительном этапе (й = 3) ос­ тается только одно уравнение, связывающее у8, у0, у1в. Поскольку Уо и у16 заданы (см. (2)), из последнего уравнения можно найти уа. Тем самым начинает осуществляться обратный ход в методе ис­ ключения. Зная уа, можно найти у4 и у12, далее — все неизвестные с четными номерами и, наконец, все остальные неизвестные.

Вернемся к общему случаю, когда N=2m. Согласно (3), в ре­

F f = F c ,

i = 2\ 2-2\ 3-2\ . . . , 2m—2\

Таким образом, весь процесс решения состоит из прямого хода и обратного хода. Прямой ход заключается в нахождении матриц

С*4 и векторов Ff> по формулам (8), (9). Обратный ход состоит в нахождении векторов у; из системы (7), начиная с k — m.

Метод редукции в том виде, как он здесь изложен, не применя­ ется в реальных вычислениях по двум причинам. Во-первых, он не­ экономичен из-за того, что на каждом этапе приходится обращать матрицу Cik) общей структуры. Во-вторых, вычисление правых час­ тей по формулам (9) неустойчиво. В следующих пунктах будет по­ казано, как можно устранить указанные недостатки метода ре­ дукции.

420