book1989

ные границы спектра и у2, как правило, не удается найти в ана­ литической форме. Поэтому используют те или иные оценки для границ спектра.

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию задачи Дирих­ ле для уравнения эллиптического типа

Обозначим через 7 сеточную границу, т. е. пересечение Q с грани­ цей Г.

Заменим исходную дифференциальную задачу (12), (13) раз­

Покажем, что разностную задачу (15), (16) можно записать в операторной форме (1), где А — самосопряженный оператор, и по­ лучим для этого оператора оценки вида (2).

Прежде всего заметим, что, изменив соответствующим образом правую часть уравнения (15), можно считать, что уи = 0 при х , ^ г{. Таким образом, придем к эквивалентной (15), (16) системе урав­ нений

где fij отличается от ftj только в приграничных точках сетки. Рассмотрим пространство Н функций, заданных на сетке О и

обращающихся в нуль на у. Определим в Н скалярное произведение и норму

где

Отсюда по формулам (4) можно вычислить итерационные па­ раметры xft и оценить согласно (5), (6) величину погрешности.

Отметим, что приведение разностной схемы (15), (16) к виду (17), (18) потребовалось нам только для того, чтобы определить оператор Л и получить оценки его спектра. После того как пара­ метры хк найдены, итерации можно проводить непосредственно для схемы (15), (16). Сначала вычисляется невязка

а затем находится новое приближение

i = l , 2 , . . . , Л ^ - 1 , / = 1, 2, . . N2— 1.

Граничные условия доопределяются согласно (16): г/|/+1) =уц, если

§3. Попеременно-треугольный итерационный метод

1.Алгебраическая теория. Пусть дана система линейных алге­ браических уравнений

с симметричной положительно определенной матрицей Л порядка

394

т. Зададим матрицу R = (гц) следующим образом:

Тогда матрицу А можно представить в виде суммы A = R+R*, где через R* обозначена матрица, сопряженная с матрицей R (транс­ понированная к R в случае действительных матриц и комплексно­ сопряженная —в случае комплексных матриц). Ясно, что ^ —ниж­ няя треугольная матрица и i?* —верхняя треугольная, причем диа­ гонали матриц R и R' совпадают.

В дальнейшем удобно рассматривать систему уравнений (1)

как операторное уравнение с самосопряженным положительным оператором А, действующим в конечномерном евклидовом (уни­ тарном —в комплексном случае) пространстве.

Попеременно-треугольный итерационный метод, который будет рассматриваться в настоящем параграфе, относится к неявным итерационным методам вида

с самосопряженным положительным оператором В. А именно, опе­ ратор В в попеременно-треугольном итерационном методе опреде­ ляется как произведение

где Е —единичный оператор и ш >0 —числовой параметр.

В дальнейшем параметры со и т будут выбраны исходя из ус­ ловий сходимости итерационного метода (2), (3). Если ш и т изве­ стны, то новая итерация yk+l находится из уравнения (2) в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение, кото­ рое мы обозначим через у к+цг, как решение уравнения

где (fk = Byk—тAy„+xf. На втором этапе, используя найденное зна­ чение г/,,+1/2, решается относительно гд+1 уравнение

А, В. В основе этой теоремы лежит предположение о том, что опе­ раторы А и В связаны неравенствами

где -у, и -у2 —положительные постоянные.Поэтому нам прежде всего надо доказать неравенства (5) для оператора (3).

Л е м м а 1. Пусть существуют положительные постоянные б, Д такие, что выполнены операторные неравенства

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим операторы

В = В (со) = (Е + cotf*) (Е + a R ) = Е + ыА + <a2R*R,

В (—а) = (Е — <$R*) (Е — шР) = £ — <оЛ -f- сa2R’R .

Отсюда получим

В (а )—В (—а) =2аЛ,

следовательно,

В = В (а) ^ 2 а Л ,

поскольку В{—а ) ^ 0 . Таким образом, A^Zy2B, где 72= (2а)-1. Далее, учитывая предположения (6), (7), получим

С другой стороны, воспользовавшись тождеством

2(R*R+RR*) = (R*+R)2+ (R*—R) (R*—R)*,

получим

R*R+RR*>0,5(R* +R)2.

Отсюда и из (9) приходим к неравенству

(R*+R)2^A(.R*+R),

396

которое эквивалентно неравенству

Обратимся теперь к исследованию сходимости попеременно­ треугольного итерационного метода.

Т е о р е м а 1. Предположим, что A = R"+R и существуют поло­ жительные постоянные б, А, при которых выполнены неравенства A ^ S E , 4R’R^.AA. Пусть

Тогда итерационный метод (2), (3) сходится, причем для погреш­ ности справедлива оценка

согласно (8). Поэтому выполнены все предположения теоремы 1 из § 4 гл. 2 ч. II о сходимости стационарных итерационных мето­ дов с самосопряженными операторами А и В. Согласно этой тео­ реме, для выполнения оценки (12) с константой

достаточно положить т = 2/(41+ 42)- Выберем теперь параметр &> так, чтобы минимизировать р. Для этого достаточно найти значе­ ние «в = со0, при котором функция

2. Применение к модельной задаче. Рассмотрим модельную за­ дачу

и обращающихся в нуль на ее границе. Определим в Н скалярное произведение

N - 1

(у, v) = 2 yyv‘ih2

U—i

и норму \\у\\=^{у, у). Задача (14) записывается как операторное уравнение (1) в пространстве Н, где оператор А определен следу­ ющим образом:

Этот оператор является самосопряженным и положительным. Для того чтобы применить к системе (14) попеременно-треуголь­ ный итерационный метод, необходимо представить матрицу опе­ ратора (15) в виде A = R + R \ где R — нижняя треугольная матри­ ца, и найти константы б и А, входящие в неравенства (6), (7).

Запишем (15) в виде

Тем самым оператор А представлен как сумма двух операто­ ров, A = R+U, где

(Щ д = j (Ух,д + Ух„д),

(17)

(Uy)g — г (УхиЦ + Ух,л)-

h

Нетрудно понять, что матрица оператора R является нижней треугольной, а матрица оператора U — верхней треугольной. Что­ бы убедиться в этом, достаточно записать систему двумерных раз­ ностных уравнений (14) в виде одномерной системы (5) из § 1.

398

Более того, оператор U является сопряженным оператору R в пространстве Н. Для доказательства вычислим скалярное про­

С другой стороны, из определения (17) оператора R следует, что

N-i

399

Константа p из оценки (12) в данном случае равна

nh

1— sin ----

р= ---------

1+3 sin —

2

Поэтому при малых h число итераций па(е), необходимых для получения заданной точности е, оценивается как

где ($$= (ВуМ)ц—т(Л£/('‘,)ч + 'г/.;, из которой находятся промежуточ-

400